79. Pedras calculadoras

   Há 16 anos que o novo milénio iniciou (nunca esquecer que não houve ano 0, houve o ano 1 AEC seguido pelo ano 1 EC). E agora, como na segunda metade  do século passado, o ser humano vive imerso num mundo dominado por computadores e máquinas sofisticadas. De uma forma tão profunda e intensa que as gerações mais novas nem conhecem nem imaginam como era a vida anterior ao surgimento dos computadores…

   É algo tão presente na vida moderna, que muitas vezes nem se questiona exatamente de onde vieram os computadores. A começar pela própria palavra que, em português, usamos para estas ubíquas máquinas. Os computadores fazem cálculos, a enorme velocidade. Porque não são chamados «Calculadores»? Porquê «Computadores»? Computar vem de cômputo cuja definição é 1. Cálculo, conta, contagem ou 2. Cálculo pelo qual os computistas determinam o dia em que calha a Páscoa e, portanto, as festas móveis do calendário. De cômputo veio a palavra «computar» e «computador». O nome destas máquinas está ligada à Páscoa…
Mas o que tem o cálculo da Páscoa assim de tão complicado que precisa da sua própria palavra (e até a criação de uma classe profissional chamada «Computadores», que eram as pessoas responsáveis por esse cálculo na Idade Média)?

   A palavra «Páscoa» vem do hebraico פֶּסַח «Pesach» que significa «Passagem» e é a data na qual os Judeus celebram a Fuga do Egipto liderados por Moisés. A Passagem refere-se à passagem de Jeová (ou do Anjo da Morte), pelo Egito, matando todos os primogénitos nas casas que não tivessem sangue de cordeiro na porta como sinal de pertencerem a uma família hebraica. Foi, de acordo com a Bíblia, a última das Dez Pragas e matou todos os primogénitos egípcios, incluindo o filho do Faraó. Foi isso que celebravam os Apóstolos na Última Ceia, pois todos os 13 comensais eram Judeus.

   Desde o Primeiro Consílio de Niceia (em 325 EC), a Páscoa é celebrada no primeiro domingo após o equinócio de Março (equinócio vem do Latim equi «igual» + nox «noite», que são os dois dias em que a duração do dia e da noite são aproximadamente iguais, marcando o início da Primavera e o Outono). Esta é a Lua Cheia Pascal. Um mês lunar é o tempo que medeia entre duas luas cheias e corresponde a 29 dias, 12 horas, 44 minutos e 2,8 segundos (29,53059 dias). Esta disparidade entre o mês lunar e o mês civil geralmente usado (o Calendário Gregoriano) leva a que o mês lunar não corresponda ao mês habitual. Estar permanentemente a olhar o céu, para verificar quando ocorre o Equinócio e a primeira lua cheia é complicado e sujeito a erros de observação.

   Por meio de alguns cálculos complexos (daí o «computadores» humanos), é possível calcular quando a primeira lua cheia após o equinócio se dá. Uma vez que as línguas humanas não são definidas e criadas conscientemente, os computadores assim se chamaram em vez de calculadores, ainda que sejam basicamente sinónimos. A palavra cálculo em si mesma, vem do latim Calx (calcário). Daqui obtiveram-se várias palavras como calcar, calcanhar, cálculos (as pedras dos rins),… O diminutivo de calx é calculi, como as pedras que eram usadas originalmente nos ábacos e a a palavra  acabou por designar a atividade de fazer operações matemáticas. Falou-se das calculadoras e da sua evolução no artigo Conflitos teclados.

   Antigamente, antes de haver computadores, usavam-se instrumentos como o Ábaco para auxiliar as contagens.
   Nesta reconstrução de um Ábaco romano, é possível ver várias filas com esferas. Há 3 conjuntos principais de filas, uma superior com apenas uma esfera, uma fila maior em baixo com quatro esferas cada uma (excepto a última com cinco) e uma fila mais à direita com uma ou duas esferas. Lembrando a numeração romana: I representa 1, X  representa 10, C representa 100, M (no Ábaco é o símbolo) representa 1000. Combinando os símbolos, é possível representar uma grande gama de números (ainda que números maiores ou mais complexos resultem em arranjos difíceis, como fazer 1976: MCMLDDVI). A coluna com a letra «Teta» θ especula-se que representasse casas decimais, bem como as colunas da direita. As mais acima fazem contagens mas de 5 em 5 (V é 5, D é 50 e L é 500). Assim, 67 seria representado no ábaco como uma pedra (um cálculo) na coluna X de cima e outra em baixo (5+1) e um cálculo na coluna I em cima e dois cálculos na de baixo (5+2).

                    5 + 4 = 9

   O Ábaco foi a primeira mecanização de cálculos criada e foi (e ainda é) usada durante milénios. Há o ábaco mesopotâmico; babilónio; egípcio; grego; romano; indiano;    chinês (算盤 suanpan); japonês (そろばん soroban «tábua de contar»); inca (quipu); azteca (nepōhualtzintzin); russo. Nos ábacos chinês e japonês, cada pedra do céu (as das filas de cima) representa cinco unidades e as pedras da terra (as das filas de cima). Falou-se sobre os Aztecas no artigo Tripla lição.

   O Ábaco mais simples é o que tem 10 filas e 10 colunas de esferas. Na última fila, cada esfera representa 1 unidade; na penúltima fila, cada esfera representa 10 unidades; na antepenúltima fila, cada esfera representa 100 unidades e assim sucessivamente. 

   Para representar um número, desliza-se para a direita o número de esferas necessário para representar o número. Por exemplo, o número 23 é representado por três esferas na última fila e duas esferas (10+10) na penúltima.                          

   As operações matemáticas básicas (soma, subtração, multiplicação e divisão) são feitas deslizando o número apropriado de esferas. Sempre que, numa fila, todas as esferas tenham sido movidas são colocadas na posição original e desliza-se uma esfera da fila de cima.  Por exemplo, para fazer a soma de 23 com 112, deslizam-se 3 esferas na última fila e 2 esferas na penúltima (10+10+1+1+1 = 23) e, em seguida, desliza-se 2 esferas na última fila, 1 esfera na penúltima fila e 1 esfera na antepenúltima fila (100+10+1+1 = 112), obtendo-se 5 esferas na última fila, 3 esferas na última fila  e 1 esfera na antepenúltima fila, obtendo-se (100+10+10+10+10+1+1+1+1+1) 135 que é o resultado da operação.                                

   Para realizar uma multiplicação, há dois métodos diferentes, sendo um mais fácil de entender e explicar (mas é mais demorado) e o outro mais rápido mas mais complicado. No primeiro método, para cada esfera do multiplicando faz-se o mesmo número de esferas no multiplicador. Por exemplo, para fazer a multiplicação 4×3:

Primeiro método

   No segundo método, representa-se o multiplicando nas primeiras filas e o multiplicador nas últimas filas. Cada esfera do multiplicando que se desliza (começando nas unidades) faz-se deslizar o mesmo número de esferas do multiplicador. Quando todas as esferas da última linha do multiplicando tiverem deslizado, o cálculo é igual mas começando uma linha acima:

Segundo método

   Eis um outro exemplo, em que se multiplicam números com dois dígitos, neste caso 16×12 = 192. Pode ser verificada a necessidade de utilizar a linha acima quando o cálculo não terminou e ainda há dígitos uma linha acima:                                 

   Quando há casa decimais (como 1,6×0,12) faz-se a multiplicação ignorando as vírgulas. No final, somam-se (ou subtraem-se) as casas decimais do multiplicando e do multiplicador e colocam-se no resultado. Neste exemplo, o multiplicando tem 1 casa decimal e o multiplicador tem 2 casas decimais. Assim, o resultado terá 3 casas decimais.

16×12 = 192. Logo 1,6×0,12 = 0,192