148. Pombos aniversariantes

A probabilidade de duas pessoas fazerem anos no mesmo dia, o Princípio do Pombal, cabeças pilosas, números inteiros e pontos num quadrado, outros exemplos e aplicações, acontecimentos contrários e combinatória. 

   A Matemática permite ao Ser Humano compensar defeitos de avaliação que os nossos instintos por vezes cometem. Nos 300 mil anos que temos de existência, os nossos instintos foram moldados para uma realidade que não corresponde à da moderna civilização. Os receios que surgiram quando o comboio a vapor foi criado (falou-se no seu inventor, James Watts, no artigo Cavalo e velas) de que o nosso corpo não seria capaz de suportar viagens a mais de 50 km/h é um exemplo. Os receios em relação a voar (de que se falou e explicou no artigo Sonhos no ar) é outro exemplo mais moderno. Mas há exemplos mais pequenos que revelam a dificuldade dos nossos instintos de aferirem se um acontecimento é mais ou menos provável. Como saber se é provável que, num grupo de 100 pessoas, pelo menos duas partilhem o mesmo dia de aniversário é um problema (resolvido) a que a Matemática responde. Na verdade, bastam mais de 23 pessoas para que seja mais provável haver co-aniversariantes do que não haver. Este problema foi originalmente colocado pelo matemático austríaco Richard von Mises (1883-1953) nascido em Lviv, na atual Ucrânia.

   Quando se lança uma moeda ao ar, a probabilidade de que se obtenha «caras» é 1/2. Sobre o cálculo de probabilidade ver o artigo Dados combinados. O facto de a probabilidade ser 1/2 de que se obtenha «caras» não significa que, se se atirar 2 vezes uma moeda ao ar, obtemos de certeza 1 vez «cara», tal como se se atirar 6 vezes um dado, não se obtém de certeza uma vez cada face.
Uma probabilidade é uma indicação, não é uma previsão.

   Num grupo de pessoas, qual será a probabilidade de que pelo menos duas pessoas façam anos no mesmo dia do ano? É claro que a probabilidade é diferente consoante o número de pessoas envolvidas. Numa festa com apenas 2 pessoas, seria muito improvável que fizessem anos no mesmo dia no conjunto de 365 dias de um ano. Se fossem 3 pessoas, seria ligeiramente (muito ligeiramente) mais provável que pelo menos duas fizessem anos no mesmo dia. Quanto mais pessoas estivessem na festa, mais provável seria que pelos menos duas fizessem anos no mesmo dia. É de notar que a probabilidade de que 2 pessoas façam anos no mesmo dia nunca é 100%, desde que o número de pessoas não ultrapasse 365. Se houver 366 pessoas (num ano regular) e 365 delas fizerem anos em dias diferentes, a tricentésima sexagésima sexta terá de fazer anos num dos dias onde alguém já faz anos. Assim sendo, acima de n = 365 (366, 367, ...) a probabilidade de pelo menos 2 fazerem anos no mesmo dia passa a ser 100%.

   Isto é garantido pelo Princípio do Pombal, supondo que cada dia do ano tem a mesma probabilidade, o que não é bem verdade mas isso não altera os cálculos. Este princípio foi avançado pelo matemático alemão Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) em 1842 no seu livro Recherches sur les formes quadratiques à coefficients et à indéterminées complexes. Este princípio assegura que, se houver mais itens do que contentores para os acolher, pelo menos um dos contentores terá mais de um item. Apesar de parecer óbvio, este princípio tem importantes aplicações matemáticas.

   Pode demonstrar que, numa cidade, pelo menos duas pessoas terão o mesmo número de cabelos na cabeça. Também permite resolver problemas como saber se numa gaveta há meias pretas, meias verdes e meias azuis, qual o número mínimo de meias que  é preciso tirar (ao acaso) para garantir ter dois pares da mesma cor. Se retirar uma meia, ainda não há par. Se retirar outra meia, há 50% de hipóteses de não terem a mesma cor. A pior situação possível é as 3 terem cores diferentes. Se retirar mais uma meia, de certeza que será azul ou verde ou preta fará um par com uma das meias já tiradas. Mantendo a pior situação possível, a quinta meia pode ser da mesma cor do par já feito. Mas uma sexta meia ou terá a mesma cor que a meia anterior (formando 2 pares com a mesma cor) ou terá a cor de uma das meias ainda sem par, formando assim um par com uma cor diferente do anterior. Pelo Princípio do Pombal, o número mínimo de meias a retirar para garantir dois pares da mesma cor é 6.

   Ou se retirarmos 6 números inteiros do conjunto {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12} há pelo menos dois deles cuja soma é 15. Isto porque há 5 pares cuja soma dá 15 (3+12, 4+11, 5+10, 6+9, 7+8). Escolhendo 5 inteiros, o sexto garantidamente fará par com um deles e somará 15.

   Se tivermos um quadrado com 3 centímetros de lado com 10 pontos desenhados ao acaso no seu interior, pelo menos 2 deles estarão a menos  de 1,5 centímetros um do outro. Isto porque, se dividirmos o quadrado em 9 quadrados com 1 centímetro de lado, se colocarmos aleatoriamente 9 pontos em quadrados, o décimo ponto terá de ser colocado num quadrado já com um ponto. O mais afastado que eles podem ficar é na maior distância possível num quadrado, ao longo da diagonal. Num quadrado com 1 centímetro de lado, a diagonal mede √2 ≈ 1,4241… que é menor do que 1,5. Pelo Princípio do Pombal, pelo menos um quadrado terá dois pontos. Fica então demonstrado que pelo menos dois  deles estão afastados menos de 1,5 centímetros.

    Por este princípio, há um número mínimo de pessoas num grupo para haver pelo menos 2 pessoas que façam anos no mesmo dia. Há 365 dias num ano (não bissexto) logo o princípio garante a necessidade de 366 pessoas para haver coincidência de aniversários. Mas é possível reduzir esse número. É necessário calcular a probabilidade de que duas pessoas façam anos no mesmo dia, somar à probabilidade de 3 fazerem anos no mesmo dia, somar… A melhor forma de calcular esta probabilidade é usar o que em Matemática é conhecido como acontecimento contrário. Num conjunto de possibilidades, dois acontecimentos contrários são perfeitamente complementares, de tal forma que a junção dos dois seja o conjunto total de possibilidades.
e.g. No lançamento de um dado, o acontecimento contrário de {sair um número menor do que 3} é o acontecimento {sair um número maior ou igual a 3}.
   Como a probabilidade do conjunto total (o designado espaço amostral) é 1 (ou 100% em percentagem) e a junção de dois acontecimentos contrários é igual ao espaço amostral, a soma das probabilidades dos dois é igual a 1 (ou 100%). Suponhamos então que A e B são dois acontecimentos contrários. Então p(A) + p(B) = 1. Isto significa que p(A) = 1 – p(B). A probabilidade de um acontecimento é igual a 1 menos a probabilidade do seu acontecimento contrário.
e.g. No caso do lançamento de um dado, são acontecimentos contrários A ={obter um número menor ou igual a 4} e B = {obter um número maior do que 4}. p(A) = p({1}) + p({2}) + p({3}) + p({4}) e p(B) = p({5}) + p({6}). Como a probabilidade de cada face é 1/6, p(A) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 4/6 (= 2/3) e p(B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 (= 1/3) Como se vê p(A) = 1 – p(B) (4/6 = 1 - 2/6).
Quanto maior a desproporção entre o tamanho dos acontecimentos contrários e quanto mais difícil é calcular a probabilidade de cada um, mais útil é utilizar o acontecimento mais pequeno para calcular a probabilidade do seu contrário, de maior tamanho.
e.g. Num saco com 20 bolas brancas e 3 bolas pretas, a probabilidade de, ao retirar um bola, se obter 1 bola branca é igual a 1 – p({bola preta}) = 1 – 3/23 = 20/23

   No caso do Problema do aniversário coincidente, em que é necessário calcular uma infinidade de probabilidades (uma para cada número de pessoas), é mais fácil calcular a probabilidade do acontecimento contrário a esse conjunto. Esse acontecimento contrário é {não há, das n pessoas, duas ou mais que fazem anos no mesmo dia}. Fazendo variar o n (o número de pessoas do conjunto), a probabilidade de que não hajam pelo menos duas que façam anos no mesmo vai diminuindo quanto maior é o número de pessoas, da mesma forma que vai aumentando a probabilidade de pelo menos duas pessoas fazerem anos no mesmo dia.

   Como se viu no artigo Dados combinados, é possível obtermos este valor sem de facto contarmos o número em si mesmo. Neste caso em particular, pretende-se calcular de quantas maneiras n pessoas podem não fazer anos no mesmo dia (casos favoráveis) a dividir pelo número total de maneiras de n pessoas fazerem anos num ano (casos possíveis).
Casos favoráveis É claro que não pode haver repetição de dias (é o que se pretende calcular) e a ordem interessa (se alguém faz anos a 1 de Abril e outra pessoa a 23 de Agosto, isso é diferente da primeira fazer a 23 de Agosto e a segunda a 1 de Abril). Como se viu no supracitado artigo, uma contagem em que não pode haver repetição e a ordem interessa é feita usando arranjos. Neste caso temos 365 dias por onde distribuir n pessoas. Então 365 A n = 365! / (365 – n)!
Casos possíveis. Como há 365 dias num ano, a primeira pessoa pode fazer anos num desses 365, a segunda num dos 365, terceira… , a nésima pessoa num dos 365. Então interessa a ordem e pode haver repetição. É assim um caso de arranjos completos.

   Neste caso, 365 A’ n = 365n. Então, a probabilidade de não haver pelo menos 2 pessoas a fazer anos no mesmo dia é e a probabilidade de pelo menos duas pessoas fazerem anos no mesmo dia é . Se se calcular a probabilidade para diferentes números de pessoas (variando n) é possível verificar que o número de pessoas a partir do qual a probabilidade de pelos menos 2 fazerem anos no mesmo dia é superior a 50 % (0,5) é 23. Usando a mesma fórmula, verifica-se que o número de pessoas mínimo para a probabilidade de pelo menos duas fazerem anos no mesmo dia seja superior a 99% é 57 (99,012245934117 %) e se, numa festa, estiverem presentes 100 pessoas, a probabilidade de que pelo menos duas façam anos no mesmo dia é 99,9999692751072%.

   A probabilidade vai subindo continuamente, sem nunca alcançar 100%. Passa a ser 100% quando o número de pessoas chega a 365 ou o ultrapassa. Ou seja, basta que numa festa estejam 57 pessoas para que seja muito improvável que duas não façam anos no mesmo dia…