149. Portas prováveis

As probabilidades matemáticas no CERNe da física quântica, a perspetiva estocástica ou frequentista e a perspetiva epistemológica ou de Bayes no cálculo das probabilidades num problema clássico de probabilidades surgido num programa de televisão, o Paradoxo de Monty Hall. 

   A Matemática é mais do que uma Ciência, é uma forma de estruturar o pensamento e destapar a realidade objetiva escondida sobre o manto da subjetividade humana. Uma tentativa bem conhecida de explicar de que forma a Matemática o faz  é a explicação de Platão apresentada sobre a  forma da Alegoria da Caverna (ver o artigo Elementos sólidos). Duas vertentes da Matemática intimamente ligadas e que mais têm sido utilizadas para tornar mais manejável e previsível a realidade em que vivemos são a Estatística e a Teoria das Probabilidades, que têm estado no cerne da Mecânica Quântica. Uma introdução leve  ao cálculo das probabilidades é dada no artigo Dados combinados.

   Dentro da interpretação e cálculo das Probabilidades há duas correntes de pensamento com processos de aplicação e análise diferentes ainda que obtenham os mesmos valores. Uma das vertentes é através da frequência ou propensão do fenómeno em estudo ao longo de várias repetições, a interpretação estocástica (ou frequentista), do Antigo Grego στόχος «stókhos» “um palpite, conjecturar”. Nesta perspetiva, quanto mais vezes se repete a experiência mais a sua frequência (número de vezes em que ocorre o acontecimento de que queremos calcular a probabilidade a dividir pelo total de experiências feitas) se aproxima da probabilidade. Esta é concretizada através da Lei dos Grande Números e do Teorema do Limite Central e visualizada através da Curva de Gauss de que falou no artigo Curva previdente. Por exemplo, a probabilidade de obter o número «4» no lançamento de um dado (cúbico) é de 1/6 (≅ 16,667%). Mas se se lançar um dado 6 vezes, não é certo que obtenhamos uma vez o número «4». Por vezes não sai, por vezes sai mais de uma vez. Será que a probabilidade falha? Não, porque se se repetir 60 vezes, 600 vezes, 1 000 vezes, 23 000 vezes, … verifica-se que a divisão do número de vezes que saiu «4» pelo número de lançamentos do dado vai sendo progressivamente mais próximo de 16,667%.

   Uma outra perspetiva é fornecida pela interpretação epistemológica (ou de Bayes), do Antigo Grego ἐπιστήμη «episteme» “conhecimento” e λόγος «logos» “discurso, entendimento”. Aqui uma probabilidade é um valor atribuído a uma hipótese e que é atualizado com a obtenção de mais informações que alteram a probabilidade anteriormente atribuída ou calculada. Por exemplo, a média da altura do Ser Humano é 1,72 m. A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso de um grupo ter uma altura de dois metros é pequena. Mas adicionando a informação de que é um jogador de basquetebol  a probabilidade é alterada (aumenta) de uma pessoa escolhida ao acaso do grupo tenha uma altura de dois metros. A interpretação epistemológica de probabilidade surgiu através do clérigo inglês Thomas Bayes (1701-1761), que nunca publicou o seu trabalho, tendo um amigo seu feito a publicação após a sua morte.

Probabilidade condicionada   No cerne da interpretação epistemológica está o conceito de probabilidade condicionada, que calcula a probabilidade de um evento A sabendo que um outro evento B aconteceu e é representada por P(A|B). Por exemplo, num grupo de 10 pessoas, 7 pessoas gostam do sabor a chocolate, 3 pessoas gostam de chocolate e morango e 5 gostam de morango. Escolhendo uma pessoa ao acaso, sabe-se que ela gosta de chocolate (com uma probabilidade de 5 em 10 ou 50%). A probabilidade de essa  pessoa gostar de morango sabendo que ela gosta de chocolate é uma probabilidade condicionada pois adiciona uma informação que altera a probabilidade. A probabilidade dessa  pessoa gostar de morango sabendo que ela gosta de chocolate (P(M|C)) é a probabilidade de ela gostar de chocolate e morango (P(C∩M) = 3/10 = 30%) a dividir pela probabilidade de gostar de chocolate (P(C) = 7/10 = 70%) o que significa que P(M|C) = P(C∩M) / P(C) = 0,3 / 0,7 ≅ 0,43 ou 43%.

   A escolha da perspetiva no cálculo das probabilidades recai tanto na experiência em lidar com as diferentes perspetivas como também no tipo e quantidade de observações que se tem. Mas ambas são válidas e fornecem o valor correto da probabilidade pretendida. Um exemplo clássico de um problema clássico de probabilidades resolvível por cada uma das perspectivas surgiu nos anos 70 do século XX, nos EUA, em que um apresentador de nome Monty Hall, nascido Monte Halparin (1921-2017), que apresentava um programa chamado Let’s make a deal (Vamos fazer negócio), um concurso similar ao concurso Preço Certo.

   Num dos jogos do concurso televisivo, o concorrente tinha de escolher entre 3 portas. Atrás de 2 delas havia um falso prémio (animais, comida, notas falsas, ...) e atrás da outra um prémio legítimo como carro novo ou uma viagem. O concorrente ganhava o prémio que estivesse por detrás da porta que escolhesse. Mas, quando o concorrente indicava uma das portas, o apresentador abria uma das outras duas, revelando um falso prémio e perguntava se o concorrente decidia manter a escolha que tinha feito ou escolher a 3.ª porta (a que não tinha sido escolhida pelo concorrente inicialmente e que o apresentador não tinha aberto).

   Saber se era melhor mudar a porta que se escolheu ou mudar após o apresentador abrir uma das outras portas é conhecido como Paradoxo de Monty Hall, devido ao apresentador do concurso que inspirou a questão. O aparente paradoxo surge porque, apesar de no final haver só duas portas, é muito melhor mudar de porta do que manter a inicialmente escolhida, não é 50% igual mudar ou permanecer. Se o concorrente escolher a porta 1 e o apresentado abrir a porta 3, é duas vezes mais provável (P = 2/3 ou 66%) que ganhe se mudar para a porta 2 do que se mantiver a primeira escolha da  porta 1 (P = 1/3 ou 33%).

   A informação de que a terceira porta não tem o prémio altera a probabilidade de em que porta estará o prémio. Segundo a perspetiva estocástica, perante a primeira escolha (em que há 3 portas), a probabilidade de escolher a porta com o carro é 1/3 (33%). Em seguida, o apresentador abre uma das outras portas (uma que tem um falso prémio). No entanto, a probabilidade (e aqui entra a parte contra-intuitiva da questão) de ganharmos o carro não se altera. Continuamos com 1/3 de probabilidades de ganhar o carro, perante as duas portas que agora temos, se mantivermos a nossa opção original. No entanto, a probabilidade de que a outra porta seja aquela que tem o carro é agora 2/3 (66%). No início, cada porta tinha 1/3 de probabilidades de ter o carro. Após a abertura de uma das portas que tem um falso prémio, as probabilidades mudam. A porta que escolhemos mantém a probabilidade de 1/3 de ter o carro. Mas agora, a probabilidade da 2.ª porta ter o carro passa a ser 2/3. Se se repetir várias vezes a experiência de escolher uma de três portas, em seguida uma de duas, não tendo a 3.ª o carro, constatamos que de facto a probabilidade de ganhar é 1/3 (33%) se se mantiver a primeira escolha e 2/3 (66%) se se alterar a porta escolhida. Devemos então mudar de porta. Na tabela, à medida que se aumenta o número de portas, o número de vezes em que se ganha mudando a porta escolhida é 4000 em 6000 repetições (P = 4000/6000 = 2/3) e o número de vezes em que se ganha mantendo a porta escolhida é 2000 em 6000 repetições (P = 2000/6000 = 1/3).

   Na perspetiva epistemológica, há uma probabilidade de um em três de que o prémio esteja em qualquer uma das opções de portas O1, O2 ou O3. O concorrente escolhe uma das portas como tendo o prémio, C1, C2 ou C3. As probabilidades iniciais são P(C1) = 1/3, P(C2) = 1/3 e P(C3) = 1/3. Mas quando o apresentador abre uma das portas O1, O2 ou Oque não tem o prémio, essa informação extra atualiza a probabilidade do prémio estar numa das três portas. Há nova probabilidades sabendo qual uma das portas não tem o prémio.

   A probabilidade de o prémio estar na porta 1 (o concorrente mantém a sua opção) sabendo que a porta 3 foi escolhida pelo apresentador por não ter o prémio é dada por P(C1|O3) que é igual à probabilidade de o apresentador abrir a porta 3 sabendo que o prémio está na porta 1 é P(O3|C1) multiplicada pela probabilidade anterior de o prémio estar na porta 1 P(C1) a dividir pela probabilidade de o apresentador abrir a porta 3 P(O3). Como o apresentador nunca abre uma porta que tenha o prémio, P(O3) = 1/2 Assim, P(C1|O3) = P(O3|C1) × P(C1) / P(O3) = 1/2 ×  1/3 / 1/2 = 1/6 / 1/3 = 1/6 × 2/1 = 1/3.
Mas probabilidade de o prémio estar na porta 2 (o concorrente muda a sua opção) sabendo que a porta 3 foi escolhida pelo apresentador por não ter o prémio é dada por P(C2|O3) = P(O3|C2) × P(C2) / p(O3) = 1 × 1/3 / 1/2 = 1/3 / 1/2 = 1/3 × 2/1 = 2/3.
P(O3|C2) é igual a 1 porque o apresentador não pode abrir a porta 1 escolhida pelo concorrente nem a porta 2 por ter o prémio. É garantido que ele abre a porta 3 nesta situação.

   Fazendo então a experiência de escolher uma porta inicial e depois manter ou mudar e registar se se ganhou ou não, constatam-se estas contra-intuitivas probabilidades. Nesta escolha é duplamente mais vantajoso mudar de opção do que manter. Tanto pela perspetiva estocástica como pela epistemológica.