39. Arquimedes: Coroa de Vitrúvio

   No século I A.C. viveu um conhecido arquitecto romano, Marcus Vitruvius Pollio. É conhecido pelas suas obras e especialmente por ter editado a melhor fonte para entender a arquitectura romana, a sua obra em 10 volumes De Architectura. Usando os seus conhecimentos como arquitecto e construtor (bem como usando outras obras sobre arquitectura) descreveu com exatidão edifícios existentes no seu tempo, bem como valiosos conselhos sobre construção e arquitectura. Foi também Vitrúvio quem descreveu quais deviam ser as medidas perfeitas do corpo humano (masculino), que inspiraram o famoso Homem de Vitrúvio desenhado por Leonardo da Vinci, como visto no artigo O Homem de Vitrúvio. Vitrúvio é também o frequentemente desconhecido autor de uma das mais divulgadas histórias sobre o famoso Arquimedes. A tradicional imagem que se tem sobre o talentoso e multi-facetado Arquimedes é a que envolve a sua corrida pela cidade nu enquanto gritava «Eureka!» (Descobri!)

   A história por detrás da sua corrida foi contada originalmente por Vitrúvio. A história passa-se durante a Segunda Guerra Púnica e envolve o Rei de Siracusa Hiero II (os reis desta cidade não eram chamados βασιλιάδες “basileus”, reis, eram chamados de τύραννος, “týrannos” , líder ilegítimo). O Rei/Tirano desta cidade (onde vivia Arquimedes) entregou a um ourives uma quantidade de ouro para que este fizesse uma coroa (que vem da palavra latina “corona” que significa coroa de louros, como a que se associa aos imperadores romanos) para colocar na estátua de um deus ou deusa. Mas o Rei suspeitou que o ourives tinha ficado com parte do ouro entregue e a tinha substituído por uma menos preciosa prata. Por isso, pediu ao mais distinto e inteligente homem da cidade, Arquimedes, que descobrisse uma forma de determinar a verdade sem danificar a coroa, visto que esta era preciosa e uma oferta a uma divindade. Reza a lenda (isto é, o relato de Vitrúvio) que Arquimedes foi para casa a matutar no assunto. Não chegando a encontrar imediatamente uma solução foi tomar um banho. Ao mergulhar na banheira, constatou que o seu peso fazia deslocar a água. Percebeu então que esse deslocamento era devido ao seu peso e de que diferentes pesos deslocariam quantidades diferentes de água. Como a prata tem um peso diferente do ouro, tinha encontrado uma forma de determinar se a composição da coroa era a que o ourives afirmava: mergulhando em água uma quantidade de ouro igual à entregue e noutro recipiente a coroa, os dois teriam de deslocar a mesma quantidade de ouro. Não o fazendo tinha havido fraude. Com esta descoberta Arquimedes terá ficado tão entusiasmado que saiu do banho a correr, ainda nu, a gritar «Eureka!» εὕρηκα “descobri!” (palavra relacionada com “eurísko” ευρίσκω, verbo que significa “encontrar” e de onde vem a palavra “heurística“)

   É amplamente reconhecido o génio matemático e científico de Arquimedes (graças às suas invenções o exército romano foi mantido fora das muralhas da cidade. Algumas dessas invenções incluem a utilização de espelhos parabólicos para focar a luz do sol sobre os navios romanos e incendiá-los; a criação de alavancas enormes que levantavam no ar os barcos romanos e os deixavam cair impotentes sobre os rochedos da costa; e outras mais.)

   Apesar disso a história contada por Vitruvius tem tido a sua veracidade refutada por vários críticos (e críticas). A mais significativa delas parece ser que a maior coroa de ouro descoberta do tempo de Arquimedes é oriunda da cidade grega de Vergina e tem um diâmetro exterior de 18,5 centímetros e uma massa de 714 gramas, apesar de algumas das suas «folhas» se terem perdido. Semelhantes dimensões e pesos não teriam deslocado suficiente água para determinar sem instrumentos de precisão (desconhecidos na altura) a diferença na sua composição.

   Façamos alguns cálculos usando algumas suposições (razoáveis) para os valores que desconhecemos. Arquimedes pesaria 80 kg, a banheira seria retangular com 1,5 m de comprimento, 1 m de largura e 1 m de altura. Teria 200 litros de água a uma temperatura de 40º C (isso é relevante para a sua densidade). Na banheira, antes de Arquimedes entrar nela, e como a água tem uma densidade de 992,25 kg/m³ a 40º C, a água chegaria a uma altura de 13 cm (13,4374738 cm). Depois de Arquimedes entrar na banheira, a água subiria para 19 cm (18,8124633 cm). É uma diferença de 6 cm, o que é visível olho nu.

   Já a coroa de Virgina tinha 0,714 kg. Suponhamos que Arquimedes mergulhava a coroa na sua banheira mas agora com água a uma temperatura ambiente (digamos 25ºC). A esta temperatura, a água tem uma densidade de 97,13 kg/m³. Antes de a coroa ser mergulhada na água, a altura era 13,3717101 cm. Depois de a coroa ser mergulhada na água, a altura seria 13,4194471 cm. É uma diferença de 0,047737005 cm, o que Arquimedes não conseguiria ver a olho nu.

   Então Arquimedes poderia fazer uma caixa com as dimensões mínimas para a coroa caber. Essa caixa poderia ter 20 centímetros de comprimento, 20 centímetros de largura e 30 centímetros de altura com 10 litros de água a 25º C. Antes da bola de ouro com a mesma massa de ouro que foi entregue entregue ao Ourives ser mergulhada, a água teria uma altura de 25,0719565 cm. Depois da coroa ser mergulhada na água, a altura seria de 26,8620942 cm. É uma diferença de 1,790137695 cm, o que Arquimedes já talvez pudesse ver.

   Usando esta nova caixa, Arquimedes mergulharia então a coroa que o Rei suspeitava não ser 100% feita de ouro. Se fosse 100% de ouro, pesaria 712 gramas e a água subiria para 1,790137695 cm. Mas se o rei tivesse razão e, digamos, metade era ouro e a outra metade era prata. Tendo em conta as diferenças de densidade do ouro e da prata, a coroa pesaria 460 g (459,289499 g) e a água subiria para 26 cm (26,2234851 cm). Em relação à coroa com 100% de ouro, a diferença entre a altura da água com a coroa com 100% de ouro e a altura da água com metade ouro e metade prata seria 6 milímetros (0,638609062 cm)! Se a percentagem de ouro fosse maior, a diferença seria ainda mais pequena (se fosse 80% ouro e 20% prata, a diferença seria 2,5 mm).

   Uma outra técnica teria de ter sido usada por Arquimedes para resolver a situação. Provavelmente Vitruvius não se sentiria completamente à vontade com os números (ou suspeitasse que os seus leitores não fossem) e por isso criou esta história, que apela ao sentimento de verosimilhança sem afugentar com contas.

   É possível imaginar uma outra técnica que usa ambas as Leis de Arquimedes (o deslocamento de fluidos pela imersão de volumes e a sua Alavanca). Nessa técnica, a coroa seria suspensa numa balança com o equivalente em ouro. O conjunto é imerso em água. Se a balança se mantiver equilibrada, a coroa tem a mesma densidade e é de puro ouro. Se a balança pender para o ouro a coroa é de uma liga de ouro com um metal mais leve. Com este método a diferença de volume entre a coroa com 714 gramas (70% ouro-30% prata) e o seu equivalente em ouro é aproximadamente 12 gramas, perfeitamente ao alcance das balanças do tempo de Arquimedes. Com este método a questão das fontes de erro (tensão de superfície na água, reentrâncias na forma,…) desaparecem.

Si non est uerus est bene dito.

Deixe uma resposta

O seu endereço de email não será publicado. Campos obrigatórios marcados com *