43. Vulpinos primos

   Há pequenas perguntas cuja resposta completa traz enormes ramificações. Infelizmente, o interesse e alcance de muitas perdem-se, para a maioria das pessoas, porque as novas tecnologias facilitam tanto o cálculo que não chegam sequer a ter tempo para despertar a curiosidade.

   Por exemplo, se tiver 8 bolas para dar a 2 pessoas, será que consigo dividi-las de forma igual entre elas? (Sim, 8 / 4 = 2). Se tiver 30 bolas para dar a 2 pessoas, será que consigo dividi-las de forma igual entre elas? (Sim, 30 / 2 = 15). Mas se tiver 25 bolas, já não dá para dividir de forma igual por 2 pessoas. Esta conclusão necessita apenas do conhecimento de que 8 e 30 são divisíveis por 2 mas 25 não é divisível por 2. Qualquer número cujo último algarismo seja um número par (0, 2, 4, 6 ou 8) é divisível por 2. (14, 1236, 4534534342445667008870, …). E se forem 5 pessoas? Se tiver 8 bolas para dar a 5 pessoas, será que consigo dividi-las de forma igual entre elas? (não, cinco ficam com 1 e três com 2). Se tiver 30 bolas para dar a 5 pessoas, será que consigo dividi-las de forma igual entre elas? (sim, 30 / 5 = 6 a cada). Se tiver 25 bolas para dar a 5 pessoas, será que consigo dividi-las de forma igual entre elas? (sim, 25 / 5 = 5 a cada). Esta conclusão necessita apenas do conhecimento de que 8 não é divisível por 5 mas 30 e 25 são divisíveis por 5. Qualquer número cujo último algarismo seja 0 ou 5 é divisível por 5. (15, 1230, 4534534342445667008870, …)

   Estes são chamados os Critérios de Divisibilidade para 2 e para 5 e a maioria das pessoas tem conhecimento (mesmo que apenas informal) deles. Mas há muitos mais números naturais (infinitos até!) para além do 2 e do 5 e todos eles têm os seus próprios Critérios de Divisibilidade. Por exemplo, será que 27 livros podem ser arrumados em 3 estantes de forma a que fiquem com o mesmo número de livros? (sim, 27 / 3 = 9 cada). Mesmo sem fazer a conta, 27 é divisível por 3 porque a soma dos seus algarismos é um múltiplo de 3 (2+7=9 que faz parte da tabuada do 3). E se tiver 780 livros para distribuir por 3 bibliotecas? Ficarão todas com número igual de livros? (sim, 780 / 3 = 260 cada). Usando o mesmo critério de divisibilidade, 7+8+0=15 e 1+5=6 (que faz parte da tabuada do 3). Por isso, 780 é divisível por 3. Qualquer número em que a soma dos seus algarismos dê um múltiplo de 3 é divisível por 3. (966, 1233, 10862130,…)

   Estes são os Critérios de Divisibilidade geralmente ensinados na escola (ainda que a divisibilidade por 3 seja geralmente esquecida):

por 2► se o último dígito for 0 ou par (0, 2, 4, 6 ou 8)

por 3► se a soma dos algarismos do número for múltiplo de 3

por 5► se o último dígito for 0 ou 5.

   Mas e se forem 224 pessoas para 7 autocarros? (sim, 224 / 7 = 32 para cada um). Ou 8085 espetadores para 11 concertos? (sim, 8085 / 11 = 735 para cada um). E se forem 406 peixes para 13 aquários)? (não, 10 ficam com 31 peixes e 3 com 32 peixes). Mas 403 peixes já podem ser distribuídos igualmente por 13 aquários (403 / 13 = 31 peixes em cada). Quais os critérios de divisibilidade para todos os outros números inteiros (além do 2, 3 ou 5)?

   Para muitos números, é só necessário combinar os critérios de divisibilidade já conhecidos (60% de todos os números são divisíveis por 2 ou 5). Por exemplo, será 345450 divisível por 30? Como 30 = 2×3×5, 345450 é divisível por 30 apenas se for divisível por 2, por 3 e por 5.

Por 2► Acaba em 0, logo é divisível por 2.

Por 3► 3+4+5+4+5+0 = 21 e 2+1 = 3, logo é divisível por 3.

Por 5► Acaba em 0, logo é divisível por 5.

   Se 345450 é divisível por 2, por 3 e por 5, então é divisível por 2×3×5 = 30.

   Mas há números (chamados «números primos») que não podem ser escritos como o produto de números mais pequenos do que eles. São os átomos dos números (no sentido grego do termo άτομο “indivisível”), são «primos inter pares» (expressão latina que significa «primeiros entre iguais»): são como todos os outros números mas especiais. Os Antigo Gregos foram os primeiros de quem temos conhecimento direto de terem compreendido e explorado o conceito de números primos, em especial o grande matemático Euclides (que provou que há infinitos números primos) ou Eratóstenes (que desenvolveu o «Crivo de Eratóstenes» para determinar todos os números primos entre 1 e 100).

   O Crivo de Eratóstenes» (relembro uma vulpina pergunta de há 17 anos sobre isto) encontra todos os números primos entre 1 e 100 eliminando todos os múltiplos do número mais pequeno que se encontre na tabela, no sentido crescente, e que ainda não tenha sido eliminado. No final da eliminação, ficamos com os 25 números primos menores do que 100 (2, 3, 5, 7, 11, 13,17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97). São estes os números indivisíveis de que é preciso saber o critério de divisibilidade já que não se podem obter como o produto de números inteiros mais pequenos(Ver o artigo Naturalmente complexo para mais informações sobre os diferentes tipos de números.)

   O número 1 não é considerado um número primo por várias razões de coerência matemática mas pode-se apontar a definição de número primo como qualquer número com apenas 2 divisores: 1 e ele mesmo. O 1 tem apenas um divisor. É imprescindível esta definição para o Teorema Fundamental da Aritmética que garante que há apenas uma forma de decompor qualquer número como produto de números primos. 45 = 3×3×5 e não há qualquer outra forma de multiplicar números primos e obter 45. Mas, se 1 fosse primo, 45 = 1×3×3×5 = 1×1×3×3×5 = …

   Mas então quais os Critérios de Divisibilidade para todos os números primos além do 2, 3 ou 5? Acima de 5, não é vulgar falar-se nos Critérios de Divisibilidade. «… pero que los hay, los hay». Até 20, são os seguintes:

  Para 7► separa-se o último dígito do resto do número e multiplica-se por 5 (ou por -2) e soma-se ao anterior. Repete-se até obter um resultado cujo valor absoluto é menor do que o valor absoluto de 7. Se for 0 ou um múltiplo de 7 (positivo ou negativo), o número original também é. 4452→ 44 + 2×5 = 445 + 10 = 455 → 45 + 5×5 = 45+25 = 70 → 7 + 0×5 = 7. Logo, 4452 é divisível por 7 (4452 = 636×7); 4452 → 445 + 2×(-2) = 445 – 4 = 441 → 44 + 1×(-2) = 44 – 2 = 42 → 42×(-2)= 4 – 4 = 0. Então, 4452 é divisível por 7 (4452 = 636×7). 1297→ 129 + 7×(-2) = 129 – 14 = 115 → 11 + 5×(-2) = 11-10 = 1. Então, 1297 é não é divisível por 7

Para 11► separa-se o último dígito do resto do número e multiplica-se por -1 (ou por 10) e soma-se ao anterior. Se o resultado for 0 ou um múltiplo de 11 (positivo ou negativo), o número original também é. 5379 → 537 + 9×(-1) = 537 – 9 = 528 → 52 + 8×(-1) = 52 – 8 = 44 → 4 + 4×(-1) = 0. Então, 5379 é divisível por 11 (5379 = 489×11). 5379 → 537 + 9×10 = 537 + 90 = 627 → 62 + 7×10 = 62 + 70 = 132 → 13 + 2×10 = 13 + 20 = 33 → 3 + 3×10 = 3 + 30 = 33. ∴ Entrámos num ciclo em que obtemos sempre o mesmo número (múltiplo de 11 porque 33 = 3×11) logo 5379 é divisível por 11 (5379 = 489×11). 7325 → 732 + 5×(-1) = 732 – 5 = 727 → 72 + 7×(-1) = 72 – 7 = 65 → 6 + 5×(-1) = 6 – 5 = 1. ∴ 7325 é não é divisível por 11

Para 13► separa-se o último dígito do resto do número e multiplica-se por 4 (ou por -9) e soma-se ao anterior. Se o resultado for 0 ou um múltiplo de 13 (positivo ou negativo), o número original também é. 182 → 18 + 2×4 = 18 + 8 = 26 → 2 + 6×4 = 2 + 24 = 26, ∴ Entrámos num ciclo em que obtemos sempre o mesmo número (múltiplo de 13 porque 26 = 2×13) logo 182 é divisível por 13 (182 = 489×11).

Para 17► separa-se o último dígito do resto do número e multiplica-se por -5 (ou por 12) e soma-se ao anterior. Se o resultado for 0 ou um múltiplo de 17 (positivo ou negativo), o número original também é. 3451 → 345 + 1×(-5) = 345 – 5 = 340 → 34 + 0×(-5) = 34 – 0 = 34 → 3 + 4×(-5) = 3 – 20 = -17. ∴ 3451 é divisível por 17 (3451 = 203×17). 3451→ 345 + 1×12 = 345 + 12 = 357 → 35 + 7×12 = 35+84 = 129 → 11 + 9×12 = 11 + 108 = 119 → 11 + 9×12 = 11 + 108 = 119. Entrámos num ciclo em que obtemos sempre o mesmo número (múltiplo de 17) logo 3451 é divisível por 17 (3451 = 203×17). 683 → 68 + 3×(-5) = 68 – 15 = 53 → 5 + 3×(-5) = 5 – 15 = -10683 é não é divisível por 17

Para 19► separa-se o último dígito do resto do número e multiplica-se por 2 (ou por -17) e soma-se ao anterior. Se o resultado for 0 ou um múltiplo de 19 (positivo ou negativo), o número original também é. 7087 → 708 + 7×2 = 708 + 14 = 722 → 72 + 2×2= 72 + 4 = 76 → 7 + 6×2 = 197087 é divisível por 19 (7087 = 373×19). 7087 → 708 + 7×(-17) = 708 – 119 = 589 → 58 + 9×(-17) = 58 – 153 = -95 ∴ Encontrámos um múltiplo de 19 (95 = 19×5) logo 7087 é divisível por 19 (7087 = 373×19). 6214 → 621 + 4×2 = 621 + 8 = 629 → 62 + 9×2 = 62 +18 = 80 → 8 + 0×2 = 8 + 0 = 86214 é não é divisível por 19. (o uso do multiplicador -17 como critério de divisibilidade é, por vezes, bastante intragável como aqui).

  Todos os números inteiros têm dois Critérios de Divisibilidade (exceto se forem múltiplos de 2 ou 5). Por exemplo, será 25317 divisível por 29? O multiplicador para o Critério de Divisibilidade por 29 é 3 (ou -26). Como -26 é complicado para fazer manualmente, usa-se o 3: 25317 → 2531 + 7×3 = 2552 → 255 + 2×3 = 261 → 26 + 1×3 = 2925317 é divisível por 29 (25317 = 873×29).

   Há sempre dois multiplicadores para cada número (um positivo e outro negativo) que somados em valor absoluto são iguais ao número. (Para 3 → 1 e -2; para 11: -1 e 10…).

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