47. É Radical

   Radiciação A par da multiplicação e da divisão, a radiciação («a extracção das raízes de um número») é uma das operações que surge, com frequência, no dia a dia (menos, claro, mas também). 23 = 8 (23 = 2×2×2 = 8). O expoente (o número mais pequeno que se coloca no canto superior direito) indica o número de multiplicações a serem feitas com a base (o número maior que fica em baixo). Esta operação é a potenciação (há também potenciação com números negativos e mesmo com frações como, por exemplo, 2-3 e 81/3, respectivamente 0,125 e 2)

   A operação inversa da potenciação é a radiciação. A questão da radiciação é que, quando a raíz tem índice par (a raíz quadrada tem índice 2, a raíz cúbica índice 3, a raíz quarta índice 4,…) obtêm-se duas raízes, uma negativa e outra positiva, como a raíz quadrada de 4 é 2 e também -2, uma vez que 2×2=4 e (-2)×(-2)=4. O índice é o número que se coloca no canto superior esquerdo do símbolo √ (3√é a raíz cúbica e, na raíz quadrada, não se coloca o 2). O número de que se quer extrair a raíz chama-se radicando. A maioria das calculadoras de bolso que se podem hoje comprar têm a função raíz quadrada (mas não tem outras). Mas houve um tempo em que não havia calculadoras e a única forma de calcular raízes de um número era manualmente. Mas essa é uma «arte» quase esquecida. Na verdade, há mais de uma forma de extrair raízes quadradas de um determinado número. Mas falaremos daquela que se aprendia na escola, a raíz quadrada longa (em termos visuais semelhante à divisão longa).

   Como calcular a raíz quadrada de 6234. omeça-se por escrever o radicando (o número de que se quer extrair a raíz), com o respectivo símbolo chamado radical:

1♦ colocam-se, após uma vírgula, tantos grupos de zeros quantas as casas decimais que se pretende para o resultado (no exemplo ao lado, pretende-se calcular o resultado com 2 casas decimais, logo acrescentam-se 2 grupos de dois zeros) e fazem-se grupos de dois algarismos, começando da vírgula para a esquerda e da vírgula para a direita; 2♦ verifica-se qual é o algarismo cujo quadrado (a multiplicação por si mesmo) fica o mais próximo possível do primeiro grupo sem o ultrapassar (no exemplo, 9x9 é superior, 8x8 é superior, o número cujo quadrado fica mais próximo é o 7) e coloca-se esse número na primeira posição do resultado; 3♦ coloca-se o quadrado do algarismo debaixo do primeiro grupo de 2 algarismos do radicando e subtrai-se. Por baixo coloca-a esse resultado; 4♦ baixa-se o grupo seguinte de dois algarismos do radicando; 5♦ multiplica-se em seguida o resultado que já se tem por 2 e acrescenta-se um 0 (no exemplo, 7x2=140); 6♦ é necessário agora verificar qual é o algarismo que somado ao anterior e em seguida multiplicando por esse mesmo algarismo não é maior do que a última subtração da esquerda (140+9=149 e 149x9= 1341; mas 140+8=148 e 148x8= 1184); 7♦ o algarismo que se somou e multiplicou antes coloca-se na posição seguinte do resultado, no topo; Quando se esgotam os algarismos do radicando antes da vírgula, acrescenta-se uma vírgula ao resultado; 8♦ é necessário novamente multiplicar o resultado que se tem (78) por 2 e acrescentar um 0; 9♦ repetem-se todos os passos até que todos os grupos do radicando tenham sido usados. Obtém-se assim a raíz quadrada pretendida, com o número de casas decimais requeridas.

   A raíz cúbica é muito semelhante, mas agora: no passo 1 fazem-se grupos de 3 algarismos, a contar a partir da vírgula para a direita e para a esquerda e acrescentam-se tantos grupos de 3 zeros quantas as casas decimais pretendidas no resultado; tem de se verificar, no passo 2, qual é o algarismo cujo cubo é o mais próximo possível, sem ultrapassar, o primeiro grupo do radicando; no passo 5, tem de se multiplicar o quadrado do resultado que já se tem por 3 e acrescenta-se 2 zeros; no passo 6 é necessário verificar qual é o algarismo que multiplicado por 3 e acrescentado um 0 e adicionado ao seu quadrado é o número mais próximo sem ultrapassar. Eis um exemplo comparativo entre as duas raízes (a raíz quadrada com 3 casas decimais e a raíz cúbica com uma casa decimal):

   Raízes de índices superiores são progressivamente mais complexas de calcular, mas há, nos algoritmos para a raíz quadrada e raíz cúbica, um padrão que permite perceber como poderão funcionar.

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