56. Inveja multiplicada

   É bastante fácil fazer somas. Mas há uma conta que, apesar de intimamente relacionada com a soma, é menos compreendida. É a multiplicação. Tendo em conta que a multiplicação não passa de uma série de somas, é curiosa então esta dificuldade, se nasce de algo tão simples e instintivo. 4×3 = 4 + 4 + 4 = 8 + 4 = 12 (três vezes o 4 somado ou quatro vezes o 3 somado); 7×5 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 14 + 14 + 7 = 28 + 7 = 35 (sete vezes o 5 somado ou cinco vezes o 7 somado). Para outro exemplo, mas desta vez de infinita complexidade nascida da simplicidade, veja-se o artigo Fratal como o destinoA multiplicação hoje uma das contas mais incompreendidas. Geralmente há alguma calculadora para fazer 2×3=6 mas nem sempre. Mas há vários processos para se fazerem multiplicações manualmente!

   Luca Pacioli, 1445-1517, expôs 8 algoritmos diferentes para se fazerem multiplicações, na sua obra Summa de arithmetica. De entre estes, há os 5 seguintes:

♦ Multiplicação longa:
A forma que se aprende tradicionalmente na escola (portuguesa). Colocam-se os dois números que se querem multiplicar um sobre o outro. Multiplica-se então cada algarismo do número que ficou «por baixo», da direita para a esquerda, por todos os algarismos do que «ficou em cima», também da direita para a esquerda. Coloca-se a unidade do resultado da multiplicação dos algarismos alinhados, por debaixo dos outros dois números, novamente da direita para esquerda. De cada vez que o resultado é superior a 10, soma-se o algarismo das dezenas à próxima multiplicação de algarismos que se fará. Após multiplicar o último algarismo do número «de baixo» por todos os algarismos do «de cima» e colocar os resultados alinhados por baixo dos dois primeiros, passa-se para o penúltimo algarismo, fazem-se as mesma operações e colocam-se os resultados alinhados, da direita para a esquerda, por baixo do penúltimo algarismo do resultado imediatamente acima dele. De cada vez que se começa um nova série de multiplicações com um novo algarismo, os resultados são inseridos começando uma posição mais à esquerda. Após todos os algarismos estarem multiplicados, somam-se os resultados, ordenadamente, coluna a coluna. O número obtido é o resultado pretendido.

♦ Regra do quadrilátero (ou «Gelosia» – inveja em latim/italiano):
Começa-se por um quadrado dividido em colunas e linhas: tantas colunas quanto um dos números a multiplicar, tantas linhas quanto o outro número. Cada um dos quadrados que se obtêm são depois divididos ao meio. No topo, acima da tabela, escrevemos um dos números, cada algarismo acima de uma coluna. Ao alto, fora da tabela, escrevemos o outro (começando por baixo), cada algarismo ao lado de uma linha. Multiplicam-se os algarismos, os das linhas pelos das colunas. Escreve-se o resultado na célula de intersecção dos dois, as dezenas na metade inferior e as unidades na metade superior. Por fim somam-se, ao longo das diagonais, os algarismos alinhados e coloca-se o resultado ao lado da última célula da soma. De cada vez que o valor da soma é maior do que 10, escreve-se só a unidade e soma-se o algarismo das dezenas na próxima diagonal. O resultado da multiplicação é o número formado pelos algarismos que se foram escrevendo, lidos da esquerda para direita e de baixo para cima.

♦ Multiplicação Russa
Colocam-se os números que se querem multiplicar lado a lado. Calcula-se o dobro do 1.º número e coloca-se por baixo. Calcula-se metade do 2.º número e coloca-se por baixo deste. Quando o resultado tem casas decimais, ignoram-se as casas decimais e coloca-se apenas a parte inteira. (Por exemplo, se na sequência da divisão por 2 se obter 34,8 escreve-se 34) Por baixo dos primeiros números coloca-se sempre o dobro do anterior e, por baixo dos segundos, coloca-se sempre metade do anterior. Pára-se os cálculos do dobro e da metade quando o resultado das divisões é 1. Em seguida riscam-se todas as linhas de números nas quais o segundo número é par. Somam-se os números da primeira coluna que não foram riscados. O resultado final é a multiplicação pretendida.

♦ Multiplicação de Leonardo de Pisa
Colocam-se os 2 números que se querem multiplicar um sobre o outro. Multiplicam-se os algarismos finais de cada um. Coloca-se a unidade por baixo deles e transporta-se a dezena (se existir). Em seguida, no conjunto dos dois algarismos finais dos números, multiplicam-se os algarismos que estão no extremo, o canto superior esquerdo com o direito e vice-versa e somam-se os resultados obtidos. Em seguida, no conjunto dos 3 seguintes, multiplicam-se os extremos e os do meio e soma-se. Nos 4 seguintes os extremos exteriores e interiores e soma-se. E assim sucessivamente. Assim que todos os algarismos já tiverem sido incluídos, fazem-se grupos incluindo todos menos os dois finais, multiplicam-se os extremos e soma-se. E, seguida grupos onde não estão os dois finais e repetem-se as operações. Prossegue-se até que se chegue ao grupo onde só se incluem os dois primeiros algarismos dos números a multiplicar. Sempre que um dos números seja maior do que o outro, fazem-se as multiplicações por 0 em lugar dos algarismos em falta.

♦ Multiplicação Egípcia
Escrevem-se os números que se querem multiplicar lado a lado. Por baixo do primeiro escreve-se 1, por baixo do segundo o próprio número. Em seguida soma-se cada número novo por si mesmo e coloca-se por baixo de si mesmo. Repete-se a soma (o número por si mesmo) até que a primeira coluna dê um valor que, somado consigo mesmo, ultrapasse o número do topo (o que se estava a fazer a multiplicação). Em seguida verifica-se quais os números que, na primeira coluna, somados dão o número do topo. Isto requer simplesmente que se subtraia ao número do topo os maiores números que a coluna contenha, sem que se obtenha um resultado negativo e até obter 0. Verificam-se quais os números que correspondem aos que foram subtraídos na segunda coluna e somam-se. O resultado da soma é a multiplicação pretendida.

♦ Multiplicação védica (na verdade, este método é conhecido por vários nomes diferentes) Esta é uma adaptação do método. Começa-se por se desenhar grupos de linhas horizontais e verticais. Faz-se um grupo com tantas linhas horizontais como o primeiro dígito do primeiro número a multiplicar, faz-se um segundo grupo com tantas linhas horizontais como o segundo dígito do primeiro número a multiplicar, assim por diante até que todos os dígitos do primeiro número estejam representados por linhas horizontais. Na vertical, faz-se um grupo com tantas linhas verticais como o primeiro dígito do segundo número a multiplicar, faz-se um segundo grupo com tantas linhas verticais como o segundo dígito do segundo número a multiplicar, assim por diante até que todos os dígitos do segundo número estejam representados por linhas verticais. Fazem-se os grupos das intersecções das linhas horizontais e verticais que estão próximas. Para esta multiplicação basta contar os pontos de cada grupo e somar. Começa-se pelo grupo no canto inferior direito. O número de pontos desse grupo é o último dígito do resultado. Unem-se então os grupos mais próximos (à esquerda e acima) do(s) último(s) já contados e somam-se todos os pontos desses grupos. O resultado é o penúltimo dígito do resultado da multiplicação. Em seguida, unem-se os grupos que estão mais próximos dos anteriores. Continua-se até só haver um grupo (o mais à esquerda e acima), que contém tantos pontos quanto o primeiro dígito do resultado da multiplicação. Sempre que uma das somas de pontos do grupo der um número maior ou igual a 10, fica o último dígito (as unidades) e as dezenas somam-se aos grupos que vão ser somados em seguida. Caso um dos algarismos dos números a multiplicar seja 0, basta que seja representado por uma linha tracejada, efectuando-se todos os passos na mesma, mas tendo sempre presente que as intersecções com a linha tracejada correspondem a 0.

   Em qualquer um dos algoritmos, caso se pretenda multiplicar números com casas decimais (números após a vírgula), basta que estas sejam ignorados inicialmente, colocando-se depois, no resultado obtido, tantas casas decimais quantas as obtidas pela soma das casas decimais de cada um dos números. Para calcular 7,5×0,34 multiplica-se 75×34 = 2550. Como 7,5 tem 1 casa decimal e 0,34 tem 2, o resultado terá 3 casas decimais. Assim, 7,5×0,34 = 2,550

   Eis uma comparação destes métodos, com a aplicação de cada método à multiplicação 35×13:

Compare-se então o uso de cada um dos métodos na multiplicação 123 x 432 = 53136. também uma forma de fazer as multiplicações da tabuada (acima de 5) usando apenas os dedos: associa-se os números de 10  até 6, começando com o polegar; os números que ficam abaixo do contacto dos números que se querem multiplicar somam-se e o resultado multiplica-se por 10. Soma-se depois o produto do número de dedos que ficam acima da mãe esquerda com o número de dedos que ficam acima na mão direita, O Resultado é o produto desejado. Eis alguns exemplos:

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