66. Herão tão fáceis

   A fórmula para calcular a área de um triângulo é A = b x h / 2, em que: A é a área, b é o comprimento da base e h é a altura. Esta fórmula é muito simples de usar quando o triângulo é retângulo. Neste caso, o comprimento da altura (h) é simplesmente um lado. Mas, quando o triângulo não é retângulo, a altura já não é um dos lados. Tem de se dividir o triângulo em 2 triângulos rectângulos e a altura será o lado reto. Usa-se então o Teorema de Pitágoras (ainda mais reconhecido) para calcular a altura e só depois se consegue calcular a Área do triângulo. Não é difícil mas exige algumas contas.

   Mas há uma fórmula que precisa apenas que se coloquem os lados e dá, como resultado, a Área do triângulo. Essa fórmula chama-se Fórmula de Herão:  em que s é a soma de todos os lados a dividir por 2 (o semi-perímetro) e a, b, c são os lados do triângulo.

e.g. É preciso calcular a área de um pano triangular que tem de lados 10, 8 e 6 decímetros. Na forma usual, teria de se encontrar a altura do triângulo (pelo Teorema de Pitágoras) e depois calcular a Área. Mas, com a Fórmula de Herão, é mais fácil: Podemos fazer a = 8, b = 10, c = 6 (a ordem dos lados não interessa). Como s é a metade da soma dos lados, s = (6 + 8 + 10)/2 = 24/2 = 12. A Área é então a raíz quadrada de 12×(12 – 8)×(12 – 10)×(12 – 6). Ou seja, é a raíz quadrada de 12×4×2×6 = 576 = 24². Ou seja, a Área é 24 dm2. Não foi preciso dividir o triângulo, nem o Teorema de Pitágoras, nem calcular alturas.

   Herão de Alexandria (que nasceu no ano 10 e morreu no ano 70) foi um Engenheiro e Matemático grego na cidade de Alexandria, onde dava aulas no Templo das Musas (o Museion, de onde derivou a palavra Museu). Ficou célebre pelos seus autómatos que se moviam e agiam coordenadamente mediante simples leis da Física. Uma das mais conhecidas será o eolípila ( o primeiro motor a vapor de que há registo), uma esfera de metal, ligada, por dois tubos, a uma base onde água era aquecida. O vapor, ao sair através das saídas da esfera, fazia-a girar. Apesar de haver referências a outros criadores de mecanismos semelhantes, Herão foi o primeiro a descrevê-los em detalhe e como construí-los no seu livro (de que não sse conhece a existência de uma cópia) no seu livro  Pneumatica, onde cerca de 78 estariam descritos.

   Uma outra, as portas do templo que se abriam quando se acendia o fogo no altar (usando princípios da Pneumática, o ar quente deslocava-se e empurrava a água de um contentor. Esse deslocamento da água punha em movimento rodas e cordas escondidas que acabavam por abrir a porta).

   Ou então jardins adornados com pássaros metálicos que se moviam e cantavam (através do deslocamento de água de uma fonte subterrânea), a primeira máquina de venda automática que, colocada num templo, fornecia uma quantidade certa de água ao crente que nela colocasse uma moeda. Igualmente este teorema, que permite o cálculo de áreas de triângulos, conhecidos os seus três lados. A maioria das invenções e descobertas de Herão perderam-se, só sobreviveram algumas referências traduzidas para Árabe.

   Uma fórmula equivalente à de Herão foi descoberta independentemente pelo matemático chinês Qin Jiushao e publicada em 1247:

A=\frac1{2}\sqrt{a^2c^2-\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2}\right)^2}, onde abc

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