71. Curva previdente

  Há, na estrutura do Mundo, padrões e valores que unem as coisas mais aparentemente díspares. Há padrões imersos na estrutura da realidade que são comuns a uma grande variedade de fenómenos. Uma delas é a justificação matemática do conhecido provérbio «No meio está a virtude». Um desses é representado pela chamada Curva de Gauss. Gauss foi um profícuo Matemático alemão do final do século 18 e início do 19. Para se ter uma ideia da sua importância, há perto de 200 termos matemáticos que ostentam o seu nome. Esta curva (também chamada Curva Normal ou em Forma de Sino) tem um aspecto singelo mas contém a chave para muitos segredos e mistérios do Mundo.

  Já em 1840 Adolphe Quetelet (1796-1874), um astrónomo e matemático belga, propôs que fenómenos empíricos (como as marés, taxas de natalidade e de crime) deviam estar distribuiídos não de forma regular ou caótica mas como uma curva com maior número de observações próximas da média, uma curva em forma de sino. Ele assumiu que fenómenos sociais teriam o mesmo tipo de regularidade que os fenómenos espaciais. Quetelet impôs esta curva em forma de sino como o modelo a priori para a distribuição de observações no mundo empírico.

   Será surpreendente saber que a altura de um grupo de pessoas está ligada, por esta curva, ao peso dos leões existentes em África? Será surpreendente saber que o número de erros tipográficos dos livros publicados por uma editora está ligada, por esta curva, à duração dos jogos da Taça do Mundo de Futebol? Será surpreendente saber que as notas nos exames de acesso à Universidade estão ligadas, por esta curva, ao número de ramos que uma árvore tem? Será surpreendente saber que o QI (Quociente de Inteligência) das pessoas está ligado, por esta curva, ao comprimento dos Tubarões-Brancos existentes no Mundo? Será surpreendente saber que a relação do número de filhas e filhos dos casais está ligada, por esta curva, ao número de cabelos existentes na cabeça dos seus pais? Será surpreendente saber que o número de gotas de chuva que cai durante uma tempestade está ligado, por esta curva, ao número diário de leitores de um jornal?

   Para perceber estas ligações (e muitas mais, que muitos mais exemplos se podiam dar) é necessário primeiro compreender o que é a Curva de Gauss, qual a sua História, como tem o nome que tem, quais as suas características, como surge e como é construída. Esta curva está ligada a dois valores que, em qualquer conjunto de valores, podem ser calculados: a média e o desvio-padrão. A média (µ) pode ser entendida como um valor que está o mais próximo possível de todos os valores estudados e o desvio-padrão (δ) é basicamente a média das diferenças de cada valor em relação à média do conjunto. Algumas das características mais significativas desta curva são ser simétrica em relação ao seu centro (que é a sua média), a média ser também o valor mais frequente (moda) e a valor central (mediana), ter 68,27% de todos os valores situados entre a média menos o desvio-padrão e a média mais o desvio-padrão, ter 95,45% de todos os valores situam-se entre a média menos 2 vezes o desvio padrão e a média mais 2 vezes o desvio-padrão e 99,73% de todos os valores situam-se entre a média menos 3 vezes o desvio-padrão e a média mais 3 vezes o desvio-padrão.

   A primeira referência que se conhece a esta curva surge num artigo do matemático francês Abraham De Moivre em 1734. A intenção de De Moivre era a de estudar de que forma distribuições binomiais à medida que o número de observações aumentava. Uma distribuição binomial é o estudo do número de acontecimentos em que só há duas possibilidades: ou ocorre ou não ocorre. Por exemplo, uma distribuição binomial pode ser formada pela pontuação que se obtém no lançamento de 10 dados. O que De Moivre procurava compreender, com o seu artigo, era o que acontecia à medida que mais e mais lançamentos do dado eram feitos: 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000,… Depois Laplace (1749-1827), outro importante Matemático francês, complementou o artigo de De Moivre em 1812. Laplace usou depois a Distribuição normal (o nome da distribuição de valores associada à Curva de Gauss) para estudar a distribuição de erros em experiências. Outro Matemático francês, de nome Legendre, introduziu, em 1805, o Método dos Mínimos Quadrados, um método pelo qual se procura uma função que melhor se aproxime de um conjunto aleatório de valores para, desta forma, permitir fazer previsões. Suponha-se a título de exemplo, que se estudava o número de fumadores num país em diferentes anos. Colocando os valores obtidos num gráfico obter-se-ia uma nuvem mais ou menos dispersa de pontos. Mas, usando o Método dos Mínimos Quadrados, podia-se encontrar uma função que permitiria prever, com alguma certeza, quantos fumadores existirão passados um certo número de anos… Mas Carl Friedrich Gauss afirmou, aquando da publicação de Legendre, que já usava um método semelhante desde 1794 e, em 1809, usou a Distribuição Normal para demonstrar rigorosamente o método. O nome «Curva de Gauss» foi sendo progressivamente usada desde o seu uso, por Gauss, para demonstrar o Método dos Mínimos Quadrados. Gauss não a criou, não a nomeou, não a complementou… No entanto, ficou com o seu nome associado a esta universal curva.

   Como surge então esta famosa curva de tantos fenómenos diferentes? Suponha-se que se tem 2 dados, com seis faces cada. Lançam-se 10 vezes os dados e soma-se o número de pintas. Lançam-se 100 vezes os dados e soma-se o número de pintas. Lançam-se 1 000 vezes os dados e soma-se o número de pintas. Lançam-se 10 000 vezes os dados e soma-se o número de pintas. Colocando num gráfico de barras os valores obtidos, constata-se que, à medida que aumenta o número de lançamentos que se efectuam, mais se aproxima a forma do gráfico da Curva de Gauss. Em termos práticos, acima de meia dúzia de lançamentos, a forma da distribuição dos valores obtidos é suficientemente semelhante à curva de Gauss para se poder usar as suas características especiais para fazer previsões e cálculos.

   Por exemplo, sabendo que os QI’s de um grupo de 1 000 pessoas têm uma Distribuição Normal e que o QI médio é 110 e o desvio-padrão 12 então sabemos que: 68,27% dessas pessoas têm um QI entre 98 (110-12) e 122 (110+12). Ou seja, 682 pessoas têm um QI entre 98 e 112. Ou ainda a probabilidade de uma pessoa desse grupo ter um QI entre 98 e 112 é 68,27%, 95,45% (954) das pessoas têm um QI entre 86 e 134 e 99,73% (997) das pessoas têm um QI entre 74 e 146. O curioso é que a maioria dos fenómenos, em que há um conjunto de valores com uma característica aleatória, têm uma distribuição aproximadamente normal.
Isto é garantido pelo Teorema do Limite Central que afirma (em termos latos) que qualquer distribuição de suficientes valores aleatórios tem uma distribuição aproximadamente normal e quanto maior for o número de valores maior é a aproximação à distribuição normal. (A partir de 30 valores a distribuição pode-se considerar, em termos práticos, Normal)

   A altura de um grupo de mais de 30 pessoas tem uma distribuição normal, logo em termos gráficos desenha uma Curva de Gauss, o peso dos leões existentes em África é uma Curva de Gauss, o número de erros tipográficos dos livros publicados por uma editora é uma Curva de Gauss, a duração dos jogos da Taça do Mundo de Futebol é uma Curva de Gauss, as notas nos exames de acesso à Universidade é uma Curva de Gauss, o número de ramos que uma árvore tem é uma Curva de Gauss, o QI (Quociente de Inteligência) é uma Curva de Gauss, o comprimento dos Tubarões-Brancos existentes no Mundo é uma Curva de Gauss, a relação do número de filhas e filhos é uma Curva de Gauss, o número de cabelos existentes na cabeça das pessoas é uma Curva de Gauss, o número de gotas de chuva que cai durante tempestades é uma Curva de Gauss, o número diário de leitores de um jornal é uma Curva de Gauss… Talvez a questão da aleatoriedade dos jogos do Mundial pareça estranha. Afinal os jogos duram 90 minutos… Mas a verdadeira duração depende do tempo de desconto dado pelos árbitros e este é um fenómeno aleatório em cada jogo.

   A maioria dos fenómenos têm um padrão comum, a Curva de Gauss Apesar de parecerem imprevisíveis e sem ligação nem regularidade há uma padrão regular que surge em grupos suficientemente grandes (claro que «grande» é subjectivo: há mais de 6 mil e 600 milhões de pessoas no Mundo e basta um grupo de 30 para começar a surgir o «padrão normal»). A distribuição normal determina um padrão comum entre fenómenos que em si nada têm em comum de uma forma rigorosa e demonstrada. Surge de forma aproximada em situações reais e é, de facto, mais abrangente…

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