A maioria das palavras em Português (cerca de 80%
) têm origem no Latim já que, como visto no artigo Quinta flor do Lácio, o Português é umas das cinco principais línguas
diretamente derivadas do Baixo Latim. Alguns exemplos de palavras de origem latina foram já dados em outros artigos, desde o nome de cores (no artigo Palavras coloridas
) ou coliseu, areia e arena (em Grotesco Coliseu
) ou claudicar (em Letras de Cláudio
). Uma outra palavra de origem latina que faz parte do vocabulário português é aleatório, que é um adjetivo que significa algo que depende de um acontecimento incerto ou sujeito às incertezas do acaso. Esta palavra vem da raíz Alea, um popular jogo de sorte e azar no Império Romano, cujo nome derivou do nome de um soldado troiano.
Um dos mais conhecidos usos da palavra foi atribuída por Suetónio Tranquilo (
69-141
), escritor romano, a Júlio César (100 AEC-44 AEC
) quando este atravessou o rio Rubicão, que separava a Itália propriamente dita da Gália (Cisalpina
). Pretendia impedir os seus inimigos políticos, cujo poder tinha aumentado na sua longa ausência, o removessem de “ditador” de Roma (cargo este que não tinha a carga negativa que tem hoje. Era simplesmente alguém (nessa altura três) que geriam a República
). Daí ter dito “Jacta alea est“. Os dados estão lançados ou a sorte está lançada. Não sabia se iria ou não derrotar os seus inimigos e também quais as consequências de levar as suas legiões para a cidade de Roma (o
que, na altura, era expressamente proibido, para evitar golpes militares
).
A palavra Aleatório é usada quotidianamente mas é também uma palavra com clara definição matemática, onde remete para o estudo de acontecimentos cujo resultado é incerto, mediante o estudo dos possíveis resultados (
Possibilidade
) e a atribuição de um número entre 0 e 1 ou entre 0% e 100% (Probabilidade
). Probabilidade é um número que se atribui a uma possibilidade de um acontecimento. Quanto maior é o número (entre 0 e 1 ou equivalentemente entre 0% e 100%
) mais certo é que que aconteça. Possibilidade é uma das maneiras com que determinado acontecimento pode ocorrer. Cada possibilidade tem uma probabilidade de acontecer. A soma das probabilidades de todas as possibilidades de um acontecimento aleatório é 1 (ou 100%
). Como a probabilidade é um número não «há poucas probabilidades», porque isso é o mesmo que dizer «há poucos números» e os números são infinitos. No uso corrente, ouve-se por vezes há poucas probabilidades de isso acontecer, confundindo «probabilidade» com «possibilidade». Mas tendo em conta que a possibilidade é um resultado e a probabilidade é um número, o correto será dizer há poucas possibilidades de isso acontecer ou então é pequena a probabilidade de isso acontecer.
Em termos simples, a forma de calcular a probabilidade da possibilidade de um acontecimento aleatório envolve a contagem do número de vezes em que pode ocorrer essa possibilidade e também a contagem do número total de possibilidades do acontecimento em causa. Geralmente essas contagens são complicadas de fazer em acontecimentos do quotidiano, e com formas mais ou menos elaboradas. Mas, se a contagem total for possível, usa-se a Regra de Laplace: para calcular a probabilidade de uma possibilidade basta dividir o número de vezes que ocorre essa possibilidade (
n.º de acontecimentos favoráveis
) pelo número total de possibilidades do acontecimento (nº de acontecimentos possíveis
).
Eis alguns exemplos para o calculo de probabilidades. Um saco contém 5 bolas: tem 2 bolas pretas e 3 bolas vermelhas . Qual é a probabilidade de ao retirar, sem ver, uma bola do saco obter 1 vermelha? Há aqui um acontecimento (
retirar uma bola
) com algumas possibilidades; O número de possibilidades de sair uma bola vermelha é 3; o número total de possibilidades é 5 bolas. A probabilidade é então 3/5 (que é 60%
).
A probabilidade de obter cara quando se atira uma moeda ao ar é 1/2 = 50%. (Há uma cara na moeda, que tem 2 faces possíveis); No entanto é necessário cautela neste cálculo de probabilidades. Assim só se pode calcular probabilidades em acontecimentos aleatórios (
acontecimentos em que não intervenha uma escolha humana consciente ou inconsciente
). Só se pode usar esta fórmula para calcular probabilidades quando cada uma das possibilidades tem a mesma probabilidade de ocorrer (são equiprováveis
).
Se assim não fosse poderiam ocorrer as seguintes situações a que se atribui uma probabilidade errada:
Se ao retirar uma bola do saco com 2 bolas pretas e 3 vermelhas se se espreitar pode-se sempre retirar uma bola vermelha. Então, a probabilidade seria assim de 100% (
é garantido o resultado
) e não de 60%.
Na Lotaria só há duas possibilidades: ganhar ou não ganhar. Então a probabilidade de ganhar o totoloto é 1/2 = 50%? Não, porque as duas possibilidades não são equiprováveis (não ganhar é mais provável do que ganhar
).
Quando uma dado é lançado, é fácil sabermos que o número de resultados diferentes que podemos obter é 6. Daqui se segue que a probabilidade de obter, por exemplo, o algarismo 2 quando se lança um dado, é 1/6 ≈ 0,1667. Mas, neste caso, é fácil contar o número de vezes que se obtém o resultado pretendido e o número total de casos. Mas e se se pretende (o duplo «se» não é um erro tipográfico. Sempre que um verbo tem um pronome a ele associado e é antecedido por «que» ou «se» ou está numa frase na
)negativa - entre outras - o pronome desloca-se para a frente do verbo. Neste caso, o primeiro «se» é a partícula de condição e o segundo «se» o pronome associado ao verbo. Curiosamente, esta é uma questão de que os programadores de programas de edição de texto nem sempre têm consciência e um computador pode indicar erro no uso deste «se se» quando não é. Por exemplo: Ela viu-me. -> Ela não me viu. Caiu-me o livro. -> Se me caísse o livro. As calças cabem-me. -> Espero que me caibam as calças.
Mas retomando a questão, e se se pretende saber o número de vezes que se obtém dez «1»’s no lançamento de dez dados (
ou no lançamento cinco vezes de dois dados
)? É mais complicado saber quantos são os casos totais para calcular a probabilidade. Pode-se sempre escrever todos os resultados possíveis, mas para além do tempo que semelhante tarefa exigiria haveria sempre a possibilidade de cometer um erro e escapar algum. Foi para responder a este tipo de questões (contar o número de elementos de um conjunto de possibilidades sem as escrever todas
) que surgiu a Análise Combinatória.
Fazem parte deste método de contagem essencialmente uma entidade fundamental e de fácil uso, o Fatorial (
«átomo» do método
) e com ele determinam-se Arranjos e Combinações (as «moléculas» do método
). O Fatorial (no AO de 1945: factorial. Falou-se da longa História de um século dos Acordos Ortográficos no artigo Phases: o AO de 1911
) de um número natural n, representado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. A notação n! foi introduzida pelo matemático francês Christian Kramp (1760–1826) em 1808. Os Arranjos calculam o número de grupos diferentes que se podem formar com
objetos diferentes em que a ordem interessa (por exemplo, com as letras A, B e C podem fazer-se os grupos diferentes de duas letras AB, AC, BA, BC, CA e CB
). As Combinações calculam o número de grupos diferentes que se podem formar com objetos diferentes em que a ordem não interessa (por exemplo, com as letras A, B e C podem fazer-se os grupos diferentes de duas letras AB, AC e BC
). No artigo Escada de Vénus falou-se numa forma simples de calcular combinações que está ligada à célebre frase de Fernando Pessoa O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso.
Fatorial: Há 5 cartões com letras imprimidas: A, B, C, D, E. Colocando os cinco cartões em fila numa mesa, quantas «palavras» se podem formar (
as «palavras» aqui são meros conjuntos de letras, sem significado
)? Para responder a isto podem-se escrever todas as possibilidades (ABCDE, ADBCE, EDACB,...
) mas há o risco de ficar alguma para trás se não se for metódico e o consumo de tempo seria elevado. Quando se coloca a primeira letra na mesa há 5 possibilidades. Quando se coloca a segunda letra na mesa já só há 4 possibilidades. Quando se coloca a terceira letra na mesa já só há 3 possibilidades. Quando se coloca a quarta letra na mesa já só há 2 possibilidades. Quando se coloca a quinta letra na mesa já só há 1 possibilidade. Por exemplo, se a primeira letra for B, há 4 possibilidades para o segundo (ACDE); se a primeira for B e a segunda D, dá 3 possibilidades para o terceiro (ACE)
. O total de casos possíveis será 5×4×3×2×1 = 120. Podem ser formadas 120 «palavras» com um conjuntos de 5 cartões com letras. Se fossem 23 letras, seria 23×22×21×…×4×3×2×1 =25 852 016 738 884 976 640 000 . Este é um grande número de multiplicações (22
) para fazer e com um resultado enorme (perto de 26 mil triliões de «palavras». Ver o artigo
Termos ordinais
) que é o fatorial de 22 (representado com um «!» depois do número
). Algumas calculadoras mais simples não têm esta operação mas algumas mais avançadas (nem precisam ser muito mais
) já têm esta tecla. E nos cálculos em que surge 0! este valor revela-se co1mo sendo igual a 1. Esta não foi uma decisão arbitrária.
Arranjos (simples): Os Arranjos usam-se quando não se pretende simplesmente contar de quantas maneiras se podem misturar os elementos de um conjunto. Pretende-se fazer subconjuntos que têm menos elementos do que o conjunto de que se parte. 6 amigos vão à praia (
André, Bianca, Carla, Duarte, Elisa, Filipe
). O carro só leva 5 pessoas. Um vai de autocarro. De quantas maneiras se podem sentar no carro tendo em conta o lugar que ocupam (condutor, passageiro,...
)? Pretende-se fazer conjuntos de 5 pessoas. No total há 6 pessoas. Obviamente não se podem repetir pessoas (ainda que haja gémeos homozigóticos
). O que se pretende é arranjar 6 elementos em grupos de 5. Interessa a ordem pelo qual se sentam (C no condutor é diferente de C em passageiro
). Neste casos usam-se os Arranjos simples.
Nesta fórmula para os Arranjos, o n é o número de elementos que se quer agrupar e k o número de elementos por grupo. Neste caso, são 6 amigos para 5 lugares logo ⁶A₅ = 6! / (6 – 5)! = 720 / 1 = 720 maneiras de se sentarem. (
Por aqui podemos comprovar também o facto de 0!=1. ⁴A₄ = 4! / (4 - 4)! = 24 / 0!. Este resultado só tem sentido se 0! = 1
)
Arranjos (completos): No caso de pessoas ou de objectos que não se podem repetir usam-se os arranjos simples. Mas e se for: Quantos números diferentes se podem escrever com os 10 algarismos do sistema decimal? Para o primeiro algarismo há 10 possibilidades, para o segundo 10 possibilidades (
pode-se repetir algarismos
), para o terceiro e quarto há também 10 para cada. Assim os números diferentes com 4 algarismos são 10×10×10×10 = 10 000. A este tipo de arranjos em que se podem repetir os elementos chama-se Arranjos completos e representa-se por A’ e em que nA’p = np. Neste caso, há 10 algarismos para 4 lugares: 10A’4 = 104 = 10 000. (Todos os números de 0000 a 9999
)
Combinações: As combinações usam-se quando é indiferente a ordem que os elementos ocupam nos conjuntos que se formam.
Tenho um saco com 10 bolas. Quantos sacos com 4 bolas posso fazer com estas bolas? Não interessa a ordem que as bolas ocupam no saco porque elas são iguais. Usam-se as combinações (nCp) quando se pretende juntar elementos em grupos em que não interessa a ordem que ocupam. nCp = n! / p! (n – p)! Neste caso, há 10 bolas para fazer grupos de 4. n = 10 e p = 4. 10C4 = 10! / 4! (10 – 4)! = 10! / (4!×6!) = 3 628 800 / (24×720) = 3 628 800 / 17280 = 210 sacos. Contas como 10! / 4! x 6! podem ser simplificadas e não darem valores intermédios tão grandes. 10! / 4! x 6! = 10x9x8x7x
6x5x4x3x2x1 / 4x3x2x1 x 6x5x4x3x2x1 = 10x9x8x7 / 4x3x2x1 = 5 040 / 24 = 210. Outras simplificações podiam ser feitas como dividir o 10 por 2, o 9 por 3, o 8 por 4 e obter 5x3x2x7 = 210 mas estas simplificações dependem em cada situação dos cálculos a efetuar.
É desta forma que, sem contar um por um, se pode saber quantos elementos determinado conjunto tem. É também com estas ferramentas de contagem que se calculam probabilidades de acontecimentos complexos, nos quais o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis são difíceis de contar um a um. e.g. Tenho um telemóvel novo mas perdi o pin. Só sei que tem 6 algarismos todos diferentes. Qual é a probabilidade de eu acertar no pin à primeira tentativa? Casos favoráveis: 1 (
só há um pin correto
); Casos possíveis: há 10 dígitos que quero agrupar num conjunto de 6. A ordem interessa porque 123456 ≠ 216453. Não pode haver repetição. Então são os arranjos simples. 10A6 = 10! / (10 – 6)! = 10! / 4! = 10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 / 4! = 10×9×8×7×6×5 = 151 mil e 200. Então a probabilidade de acertar é 1 / 151 200 ≈ 0,0000066 (0,00066%
). É muito pequena, por isso os pin são seguros e, quantos mais algarismos têm, mais seguros são.
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