90. Dados combinados

   A maioria das palavras em Português (cerca de 80%) têm origem no Latim já que, como visto no artigo Quinta flor do Lácio, o Português é umas das cinco principais línguas diretamente derivadas do Baixo Latim. Alguns exemplos de palavras de origem latina foram já dados em outros artigos, desde o nome de cores (no artigo Palavras coloridas ) ou coliseu, areia e arena (em Grotesco Coliseu) ou claudicar (em Letras de Cláudio). Uma outra palavra de origem latina que faz parte do vocabulário português é aleatório, que é um adjetivo que significa algo que depende de um acontecimento incerto ou sujeito às incertezas do acaso. Esta palavra vem da raíz Alea, um popular jogo de sorte e azar no Império Romano, cujo nome derivou do nome de um soldado troiano.

   Um dos mais conhecidos usos da palavra foi atribuída por Suetónio Tranquilo (69-141), escritor romano, a Júlio César  (100 AEC-44 AEC) quando este atravessou o rio Rubicão, que separava a Itália propriamente dita da Gália (Cisalpina). Pretendia impedir os seus inimigos políticos, cujo poder tinha aumentado na sua longa ausência, o removessem de “ditador” de Roma (cargo este que não tinha a carga negativa que tem hoje. Era simplesmente alguém (nessa altura três) que geriam a República). Daí ter dito “Jacta alea est“. Os dados estão lançados ou a sorte está lançada. Não sabia se iria ou não derrotar os seus inimigos e também quais as consequências de levar as suas legiões para a cidade de Roma (que, na altura, era expressamente proibido, para evitar golpes militares).

   A palavra Aleatório é usada quotidianamente mas é também uma palavra com clara definição matemática, onde remete para o estudo de acontecimentos cujo resultado é incerto, mediante o estudo dos possíveis resultados (Possibilidade) e a atribuição de um número entre 0 e 1 ou entre 0% e 100% (Probabilidade). Probabilidade é um número que se atribui a uma possibilidade de um acontecimento. Quanto maior é o número (entre 0 e 1 ou equivalentemente entre 0% e 100%) mais certo é que que aconteça. Possibilidade é uma das maneiras com que determinado acontecimento pode ocorrer. Cada possibilidade tem uma probabilidade de acontecer. A soma das probabilidades de todas as possibilidades de um acontecimento aleatório é 1 (ou 100%). Como a probabilidade é um número não «há poucas probabilidades», porque isso é o mesmo que dizer «há poucos números» e os números são infinitos. No uso corrente, ouve-se por vezes há poucas probabilidades de isso acontecer, confundindo «probabilidade» com «possibilidade». Mas tendo em conta que a possibilidade é um resultado e a probabilidade é um número, o correto será dizer há poucas possibilidades de isso acontecer ou então é pequena a probabilidade de isso acontecer.

    Em termos simples, a forma de calcular a probabilidade da possibilidade de um acontecimento aleatório envolve a contagem do número de vezes em que pode ocorrer essa possibilidade e também a contagem do número total de possibilidades do acontecimento em causa. Geralmente essas contagens são complicadas de fazer em acontecimentos do quotidiano, e com formas mais ou menos elaboradas. Mas, se a contagem total for possível, usa-se a Regra de Laplace: para calcular a probabilidade de uma possibilidade basta dividir o número de vezes que ocorre essa possibilidade (n.º de acontecimentos favoráveis) pelo número total de possibilidades do acontecimento (nº de acontecimentos possíveis).

   Eis alguns exemplos para o calculo de probabilidades. Um saco contém 5 bolas: tem 2 bolas pretas e 3 bolas vermelhas . Qual é a probabilidade de ao retirar, sem ver, uma bola do saco obter 1 vermelhaHá aqui um acontecimento (retirar uma bola) com algumas possibilidades; O número de possibilidades de sair uma bola vermelha é 3; o número total de possibilidades é 5 bolas. A probabilidade é então 3/5 (que é 60%).

   A probabilidade de obter cara quando se atira uma moeda ao ar é 1/2 = 50%. (Há uma cara na moeda, que tem 2 faces possíveis); No entanto é necessário cautela neste cálculo de probabilidades. Assim só se pode calcular probabilidades em acontecimentos aleatórios (acontecimentos em que não intervenha uma escolha humana consciente ou inconsciente). Só se pode usar esta fórmula para calcular probabilidades quando cada uma das possibilidades tem a mesma probabilidade de ocorrer (são equiprováveis).

   Se assim não fosse poderiam ocorrer as seguintes situações a que se atribui uma probabilidade errada:

   Se ao retirar uma bola do saco com 2 bolas pretas e 3 vermelhas se se espreitar pode-se sempre retirar uma bola vermelha. Então, a probabilidade seria assim de 100% (é garantido o resultado) e não de 60%.

   Na Lotaria só há duas possibilidades: ganhar ou não ganhar. Então a probabilidade de ganhar o totoloto é 1/2 = 50%? Não, porque as duas possibilidades não são equiprováveis (não ganhar é mais provável do que ganhar).

   Quando uma dado é lançado, é fácil sabermos que o número de resultados diferentes que podemos obter é 6. Daqui se segue que a probabilidade de obter, por exemplo, o algarismo 2 quando se lança um dado, é 1/6 ≈ 0,1667. Mas, neste caso, é fácil contar o número de vezes que se obtém o resultado pretendido e o número total de casos. Mas e se se pretende (o duplo «se» não é um erro tipográfico. Sempre que um verbo tem um pronome a ele associado e é antecedido por «que» ou «se» ou está numa frase na negativa - entre outras - o pronome desloca-se para a frente do verbo. Neste caso, o primeiro «se» é a partícula de condição e o segundo «se» o pronome associado ao verbo. Curiosamente, esta é uma questão de que os programadores de programas de edição de texto nem sempre têm consciência e um computador pode indicar erro no uso deste «se se» quando não é. Por exemplo: Ela viu-me. -> Ela não me viu. Caiu-me o livro. -> Se me caísse o livro. As calças cabem-me. -> Espero que me caibam as calças.)

   Mas retomando a questão, e se se pretende saber o número de vezes que se obtém dez «1»’s no lançamento de dez dados (ou no lançamento cinco vezes de dois dados)? É mais complicado saber quantos são os casos totais para calcular a probabilidade. Pode-se sempre escrever todos os resultados possíveis, mas para além do tempo que semelhante tarefa exigiria haveria sempre a possibilidade de cometer um erro e escapar algum. Foi para responder a este tipo de questões (contar o número de elementos de um conjunto de possibilidades sem as escrever todas) que surgiu a Análise Combinatória.

   Fazem parte deste método de contagem essencialmente uma entidade fundamental e de fácil uso, o Fatorial («átomo» do método) e com ele determinam-se Arranjos e Combinações (as «moléculas» do método). O Fatorial (no AO de 1945: factorial. Falou-se da longa História de um século dos Acordos Ortográficos no artigo Phases: o AO de 1911) de um número natural n, representado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. A notação n! foi introduzida pelo matemático francês Christian Kramp (1760–1826) em 1808. Os Arranjos calculam o número de grupos diferentes que se podem formar com objetos diferentes em que a ordem interessa (por exemplo, com as letras A, B e C podem fazer-se os grupos diferentes de duas letras AB, AC, BA, BC, CA e CB). As Combinações calculam o número de grupos diferentes que se podem formar com objetos diferentes em que a ordem não interessa (por exemplo, com as letras A, B e C podem fazer-se os grupos diferentes de duas letras AB, AC e BC). No artigo Escada de Vénus falou-se numa forma simples de calcular combinações que está ligada à célebre frase de Fernando Pessoa O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso.

   Fatorial: Há 5 cartões com letras imprimidas: A, B, C, D, E. Colocando os cinco cartões em fila numa mesa, quantas «palavras» se podem formar (as «palavras» aqui são meros conjuntos de letras, sem significado)? Para responder a isto podem-se escrever todas as possibilidades (ABCDE, ADBCE, EDACB,...) mas há o risco de ficar alguma para trás se não se for metódico e o consumo de tempo seria elevado. Quando se coloca a primeira letra na mesa há 5 possibilidades. Quando se coloca a segunda letra na mesa já só há 4 possibilidades. Quando se coloca a terceira letra na mesa já só há 3 possibilidades. Quando se coloca a quarta letra na mesa já só há 2 possibilidades. Quando se coloca a quinta letra na mesa já só há 1 possibilidade. Por exemplo, se a primeira letra for B, há 4 possibilidades para o segundo (ACDE); se a primeira for B e a segunda D, dá 3 possibilidades para o terceiro (ACE). O total de casos possíveis será 5×4×3×2×1 = 120. Podem ser formadas 120 «palavras» com um conjuntos de 5 cartões com letras. Se fossem 23 letras, seria 23×22×21×…×4×3×2×1 =25 852 016 738 884 976 640 000 . Este é um grande número de multiplicações (22) para fazer e com um resultado enorme (perto de 26 mil triliões de «palavras». Ver o artigo Termos ordinais) que é o fatorial de 22 (representado com um «!» depois do número). Algumas calculadoras mais simples não têm esta operação mas algumas mais avançadas (nem precisam ser muito mais) já têm esta tecla. E nos cálculos em que surge 0! este valor revela-se co1mo sendo igual a 1. Esta não foi uma decisão arbitrária.

   Arranjos (simples): Os Arranjos usam-se quando não se pretende simplesmente contar de quantas maneiras se podem misturar os elementos de um conjunto. Pretende-se fazer subconjuntos que têm menos elementos do que o conjunto de que se parte. 6 amigos vão à praia (André, Bianca, Carla, Duarte, Elisa, Filipe). O carro só leva 5 pessoas. Um vai de autocarro. De quantas maneiras se podem sentar no carro tendo em conta o lugar que ocupam (condutor, passageiro,...)? Pretende-se fazer conjuntos de 5 pessoas. No total há 6 pessoas. Obviamente não se podem repetir pessoas (ainda que haja gémeos homozigóticos). O que se pretende é arranjar 6 elementos em grupos de 5. Interessa a ordem pelo qual se sentam (C no condutor é diferente de C em passageiro). Neste casos usam-se os Arranjos simples.

   Nesta fórmula para os Arranjos, o n é o número de elementos que se quer agrupar e k o número de elementos por grupo. Neste caso, são 6 amigos para 5 lugares logo ⁶A₅ = 6! / (6 – 5)! = 720 / 1 = 720 maneiras de se sentarem. (Por aqui podemos comprovar também o facto de 0!=1. ⁴A₄ = 4! / (4 - 4)! = 24 / 0!. Este resultado só tem sentido se 0! = 1)

   Arranjos (completos): No caso de pessoas ou de objectos que não se podem repetir usam-se os arranjos simples. Mas e se for: Quantos números diferentes se podem escrever com os 10 algarismos do sistema decimal? Para o primeiro algarismo há 10 possibilidades, para o segundo 10 possibilidades (pode-se repetir algarismos), para o terceiro e quarto há também 10 para cada. Assim os números diferentes com 4 algarismos são 10×10×10×10 = 10 000. A este tipo de arranjos em que se podem repetir os elementos chama-se Arranjos completos e representa-se por A’ e em que nA’p = np. Neste caso, há 10 algarismos para 4 lugares: 10A’4 = 104 = 10 000. (Todos os números de 0000 a 9999)

   Combinações: As combinações usam-se quando é indiferente a ordem que os elementos ocupam nos conjuntos que se formam. Tenho um saco com 10 bolas. Quantos sacos com 4 bolas posso fazer com estas bolas? Não interessa a ordem que as bolas ocupam no saco porque elas são iguais. Usam-se as combinações (nCp) quando se pretende juntar elementos em grupos em que não interessa a ordem que ocupam. nCp = n! / p! (n – p)! Neste caso, há 10 bolas para fazer grupos de 4. n = 10 e p = 4. 10C4 = 10! / 4! (10 – 4)! = 10! / (4!×6!) = 3 628 800 / (24×720) = 3 628 800 / 17280 = 210 sacos. Contas como 10! / 4! x 6! podem ser simplificadas e não darem valores intermédios tão grandes. 10! / 4! x 6! = 10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 / 4x3x2x1 x 6x5x4x3x2x1 = 10x9x8x7 / 4x3x2x1 = 5 040 / 24 = 210. Outras simplificações podiam ser feitas como dividir o 10 por 2, o 9 por 3, o 8 por 4 e obter 5x3x2x7 = 210 mas estas simplificações dependem em cada situação dos cálculos a efetuar.

   É desta forma que, sem contar um por um, se pode saber quantos elementos determinado conjunto tem. É também com estas ferramentas de contagem que se calculam probabilidades de acontecimentos complexos, nos quais o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis são difíceis de contar um a um. e.g. Tenho um telemóvel novo mas perdi o pin. Só sei que tem 6 algarismos todos diferentes. Qual é a probabilidade de eu acertar no pin à primeira tentativa? Casos favoráveis: 1 (só há um pin correto); Casos possíveis: há 10 dígitos que quero agrupar num conjunto de 6. A ordem interessa porque 123456 ≠ 216453. Não pode haver repetição. Então são os arranjos simples. 10A6 = 10! / (10 – 6)! = 10! / 4! = 10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 / 4! = 10×9×8×7×6×5 = 151 mil e 200. Então a probabilidade de acertar é 1 / 151 200 ≈ 0,0000066 (0,00066%). É muito pequena, por isso os pin são seguros e, quantos mais algarismos têm, mais seguros são.

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