9. Escalas e ossos

  Os logaritmos: essa função matemática tão versátil e útil, desde simplificar enormes multiplicações, medir intensidade de sismos, construir espirais simultaneamente práticas e bonitas,…

Terramoto  Era manhã do dia 1 de Novembro, pelas 9:40. A cidade estava acordada há muito, pessoas reuniam-se nas igrejas para celebrarem o feriado religioso. De súbito, um terramoto violento atingiu a cidade durante cerca de cinco minutos. Milhares de pessoas fugiram para a parte baixa da cidade, onde testemunharam a água a desaparecer e navios encalhados em terra subitamente seca. Passados 40 minutos, uma onda gigante atingiu a cidade e todas as pessoas que tinham fugido para o porto. Mais duas ondas gigantes se lhe seguiram. Após as ondas regrediram, um intenso incêndio consumiu a cidade durante cinco dias. Entre 10 mil e 100 mil pessoas morreram neste terramoto de magnitude de 9 na Escala de Richter.

   Eis o que aconteceu a Lisboa no ano de 1755. Mas o que é a Escala de Richter e como funciona? Todos conhecem as operações básicas matemáticas (soma, subtração, multiplicação e divisão). Mas para estudar os sismos, há uma operação que é muito importante e é cada vez mais ignorada: a função logaritmo.

   A função raiz quadrada responde a questões como «qual o número que, multiplicado por si mesmo, dá este valor?». A função logaritmo responde a questões como «a que número tenho de elevar este valor para dar o outro valor?». As operações usuais da matemática ligam dois números para obterem um terceiro (2+3=5;7-6=1;4×2=8;12÷4=3). O logaritmo também: é composto por um argumento e por uma base. No cálculo de log 8 = 3, 2 é a base, 8 é o argumento e 3 é o resultado. Desta forma, o número a que é preciso elevar 2 para obter 8 é 3 (2x2x2 = 8).

Napier   A função logaritmo vem do grego «logos» – proporção – e «aritmo» – número – e foi criada, em 1614, por John Napier. Foi uma enorme inovação, numa altura em que cálculos com números grandes eram feitos à mão e demoravam muito. Uma das propriedades dos logaritmos é que as multiplicações (que demoram muito a fazer à mão) são transformadas em somas (mais fáceis e rápidas de fazer). Os “Ossos de Napier” é um mecanismo de operação manual de calcular produtos e quocientes de números.

  Por exemplo, um cálculo como 32 768×4096 sem usar a calculadora. Com uma tabela de logaritmos (ou régua de cálculo), podemos verificar que log32768 = 15 e que log­­4096 = 12. 15 + 12 = 27. Usando a mesma tabela ou régua de cálculo, verificamos que 2 elevado a 27 = 134 217 728. E este é o resultado de multiplicar 32 768 por 4096. Transformou-se uma multiplicação grande e morosa numa simples conta de somar!

Régua de cálculo Mas é claro que, hoje em dia, há computadores e calculadoras para fazer estas contas. Para que servem então os logaritmos hoje? A propriedade dos logaritmos transformarem multiplicações em adições é muito usada para fazer escalas de medida como, por exemplo, os tremores de terra ou o volume de ruído, porque transformam números muito grandes noutros mais pequenos e percetíveis. Em fez de se falar num tremor de terra de amplitude equivalente a 100 mil toneladas de TNT, fala-se num tremor de amplitude 5 (log10 15 000) ou num de amplitude 7 em vez de 10 milhões de TNT. Um tremor de terra de intensidade 9 é 10 vezes superior a um de intensidade 8. Grandes números tornam-se mais práticos de usar.

Náutilo

   Há muitas fórmulas científicas modernas que usam os logaritmos: a diferença entre duas notas musicais é dada por um logaritmo; o tempo de reação de uma pessoa aumenta de forma logarítmica em relação ao estímulo que recebe; há aproximadamente N/log N números primos entre 1 e N; a dimensão fratal é calculada usando logaritmos; a intensidade de um som e a intensidade de um tremor de terra são avaliadas usando logaritmos; a concha do Náutilocresce com o animal de uma forma logarítmica…

   A Escala de Richter foi criada, em 1935, pelos sismologistas dos EUA Charles Francis Richter and Beno Gutenberg e alargada,  em 1970, para a Escala de Momento Sísmico. A escala de Richter é absoluta, com base na amplitude das ondas produzidas pelo terremoto. A magnitude de um terremoto é o logaritmo na base 10 da amplitude máxima das ondas sísmicas, em que ondas cujas amplitudes diferem por um fator de 100 diferem por 2 valores na escala de Richter. A fórmula para a Escala de Richter é Richter, em que A é a amplitude das ondas sísmicas, em milímetros e Δt é o tempo, em segundos, desde o início até ao fim das ondas sísmicas.

   Os logaritmos foram criados para facilitar as contas do dia a dia de cientistas, navegadores, músicos, artistas, pessoas comuns mas afinal são uma das invenções mais usadas pela própria Natureza!

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