109. De garrafões a bolas de golfe

Um pequeno problema matemático eu tem uma interessante resolução que pode ser aplicada a vários tipos de problemas e a ligação do gole ao jogo originário da Inglaterra com o nome Ping Pong.

   A Matemática é algo difícil de explicar, as tentativas de explicar o que ela é ou a que diz respeito falham em descrevê-la na sua globalidade. Para muitas pessoas, a Matemática resume-se a números e a fazer contas. Mas vários artigos do Cognosco abordam aspetos da Matemática que não se relacionam com números como os interessantes grafos de que se falou no artigo Pontes e grafos ou os paradoxos de Zenão de que se falou no artigo A tartaruga de Zenão. Uma lista completa de artigos do Cognosco que abordam temas relacionados com a Matemática pode ser encontrada na categoria Matemática.

   Um pequeno problema mas muito interessante e que revela que a Matemática é feita de formas que vão além dos números (apesar de os poder usar) é o que se relaciona com garrafões e encher um deles com água. Temos dois garrafões, com volumes 3 litros e 5 litros que se quer encher com 4 litros. Os garrafões não são graduados e não há réguas ou balanças por perto sendo, por isso, só possível encher e esvaziar os garrafões e transferir água entre eles.

   Pode-se encher e esvaziar os garrafões até encontrar a resposta ou pegar numa folha de papel e fazer contas até encontrar uma solução. Pode-se encher o garrafão de 5 litros, transferir água desse garrafão para o outro (ficando dois litros num e três litros no outro), depois esvaziar o garrafão de 3 litros, transferir os dois litros de água desse para o outro, encher de novo o garrafão de 5 litros, transferir água desse garrafão para o outro até o encher (ficando três litros num garrafão e quatros litros no outro), o que é a solução para o problema. Mas essa não é a melhor forma de resolver a questão, pois podemos não encontrar uma solução ou não encontrar outras (há, pelo menos, duas soluções) e, se for preciso resolver o problema para garrafões com volumes diferentes, é necessário voltar a experimentar até encontrar uma solução.

   É melhor usar raciocínio matemático para resolver o problema fazendo um esquema da situação. Dessa  forma, concentramo-nos nos aspetos importantes e deixamos de lado os irrelevantes. Os importantes são as dimensões diferentes de cada um e as transferências entre eles. Como são dois garrafões, faremos um diagrama. Representamos por linhas horizontais as dimensões de um, por linhas verticais as dimensões do outro e com linhas oblíquas as transferências entre eles pois cada interseção corresponde ao volume de água nos garrafões num dado instante. Percorrendo apenas as linhas do diagrama encontramos as duas soluções do problema.

   Começamos com os garrafões vazios, no ponto (0 , 0). Posso encher o garrafão de 3 litros até ao ponto (0 , 3) ou o de 5 litros até ao ponto (5 , 0). Vamos por aqui, depois vemos a outra solução. Estou no ponto (5 , 0). Posso encher o garrafão de 3 litros até ao ponto (5 , 3) mas assim teria de dar a volta e regressar ao início. É melhor ir pela diagonal, transferindo água do garrafão do de 5 para o de 3. Estou no ponto (2 , 3) que é dois litros no garrafão de 5 e três litros no garrafão de 3. Posso descer, esvaziando o garrafão de 3 até ao ponto (2 , 0). Vou pela linha oblíqua, transferindo a água do garrafão de 5 para o de 3 até ao ponto (0 , 2). Volto a encher o garrafão de 5 litros para o ponto (5 , 2). É fácil ver que estamos próximos da solução pois basta transferir água do de 5 para o de 3, ficando com 4 litros num e 3 no outro no ponto  (4, 3). E esta é uma solução para o problema.

   Se, em vez disso, começasse por encher o garrafão de 3 litros, percorrendo o diagrama encontrava a outra solução. Posso encher o garrafão de 3 litros até ao ponto (0 , 3). Depois  transferir água do garrafão de 3 litros para o de 5 litros, ficando no ponto (3 , 0). Posso depois subir, enchendo o garrafão de 3 até ao ponto (3 , 3), estando três litros num garrafão e três litros no outro. Vou pela linha oblíqua, transferindo a água do garrafão de 3 para o de 5 até ao ponto (5 , 1) ou seja transfiro dois litros ficando com cinco litros num garrafão e um no outro. Volto a esvaziar o garrafão de 5 litros para o ponto (0 , 1). Transfiro água do de 3 litros para o de 5, ficando com zero litros num e um no outro no ponto (1 , 0). Volto a encher o garrafão de 3 litros e é fácil ver que estamos próximos da solução. Basta transferir água do de 3 litros para o de 5 litros, ficando no ponto (4 , 0) com quatro litros num e zero no outro. E esta é outra solução para o problema.

   O diagrama pode ser usado com garrafões de outros volumes para encher com outras quantidades, basta colocar mais ou menos linhas. Mas nem precisam de ser garrafões ou água. Por exemplo, tenho duas tábuas, uma com 3 metros e outra com 5 metros que quero cortar para que tenha 4 metros. As tábuas não têm marcas nem há réguas ou outros instrumentos por perto, apenas um pau de giz para marcar as tábuas. Usando só o giz, como posso cortar a tábuas para ter 4 metros? Posso usar o mesmo esquema. Pego na tábua de 5 metros. Transfiro a informação dos 3 metros para essa tábua ficando com 2 metros e 3 metros. Ponho de lado a tábua de 3 metros, só tenho a tábua de 5 com 2 metros marcados. Vou transferir a informação dos 2 metros para a tábua de 3 e fico com 1 metros e 2 metros. Volto a pegar na tábua de 5 sem marcas no ponto (5 , 2). Transfiro a informação de 1 metro para essa tábua, ficando com 1 metro e 4 metros. E esta é uma solução para o problema. Pegando primeiro na tábua 3, percorro o diagrama e encontro outra solução.

   Posso resolver outros problemas com diagramas parecidos. Com este diagrama 7 por 4, posso aplicar a cordas com comprimentos 7 e 4 metros e quero fazer um nó a 5 metros da extremidade da corda. Ou posso ter tecidos com áreas 7 e 4 centímetros quadrados que quero cortar para ter um com 5 centímetros quadrados de área. Ou posso estar numa praia com duas caixas, uma com um volume de 7 decímetros cúbicos, outra com 4 decímetros cúbicos e quero levar 5 decímetros cúbicos de areia para casa. Só preciso percorrer o esquema, fazer as transferências pedidas e encontro as soluções. Ou ser mais ambicioso e ter um saco cheio de bolas de golfe e uma caixa que leva 700 bolas e outra que leva 400 bolas. Se cada linha corresponder a 100 bolas, pode-se facilmente extrair 500 bolas, percorrendo o diagrama até ao ponto (5 , 0) que corresponde a 500 bolas.

   Curiosamente, o golfe está ligado ao aparecimento de um outro desporto que se joga com bolas pequenas, o ténis de mesa (também conhecido por ping pong). Originário da Inglaterra vitoriana do final do século XIX, este desporto surgiu como uma atividade de recreação após o jantar. Finda a refeição, limpava-se a mesa, colocavam-se livros em pé no meio da mesa para servirem de rede e os jogadores simulavam uma partida de ténis, usando uma bola de golfe e usando livros como raquetes. Devido ao som que a bola fazia ao ressaltar na mesa, o jogo era conhecido na Inglaterra como Ping Pong e jogado por muitas pessoas. Em 1901, o Jogo foi tornado marca registada por uma empresa inglesa produtora de jogos (a empresa Jacques of London, que criou jogos como o Ludo ou as peças oficiais de Xadrez de Stauton). O nome Ping Pong, até então um nome comum para designar o jogo, passou a pertencer à empresa, que vendeu o jogo à conhecida empresa Parker Brothers (proprietária também do famoso jogo Monopólio). Quando a Federação Internacional foi criada, em 1921, não pode usar o nome que pretendia e pelo qual o jogo era conhecido (Ping Pong), mudando o nome para Ténis de Mesa. Na década de 1930, o jogo era popular na China, onde é conhecido como 乒乓 (pīng pāng) por não haver o caráter «pong» na língua. Um dos primeiros jogos eletrónicos criados foi o famoso Pong em 1972, que é uma versão eletrónica do jogo (que não pode ser chamado Ping Pong por ser uma marca registada).


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