111. Agulhas circulares

A História da constante π, a sua influência nas sociedades humanas e o seu cálculo.

  Chama-se civilização (do Latim civitas "cidade") a qualquer sociedade complexa que pode ser caracterizada pela vida em cidades, estratificação social, sistemas simbólicos de comunicação como a escrita e um sentimento de separação e domínio do meio ambiente à sua volta. A palavra surgiu na França do século XVIII pela mão de Victor Riqueti, marquês de Mirabeau e remete para a procura ativa do progresso característica do Iluminismo. A Escrita, cujo exemplo mais antigo conhecido vem da Suméria, está intimamente ligada ao surgimento das primeiras civilizações, assim como a Agricultura (ainda que uma das primeiras civilizações, que durou cerca de mil anos, surgida na América do Sul na cidade de Caral, dependia de recursos marítimos e trocas comerciais).

   Uma das principais características das primeiras civilizações foi a construção de grandes monumentos, parte dos esforços para dominar a Natureza e o mundo espiritual. E instrumental para a realização dessas grandiosas obras foi o desenvolvimento da Matemática e a identificação de padrões e constantes numéricas na Natureza. Uma dessas primeiras constantes identificadas foi a razão (no sentido de divisão) entre o perímetro de uma circunferência e o seu diâmetro para qualquer círculo, independentemente do seu tamanho. Civilizações diferentes ao longo da História procuraram determinar este valor. Os antigos Babilónios, na Mesopotâmia, determinaram que este valor era 22/8 ou 3,125 (como referido numa tábua de argila datada de entre 1900 e 1600 AEC -Antes da Era Corrente); os antigos Egípcios que era 256/81 ou aproximadamente 3,1604…; os antigos Gregos, através de Arquimedes (de que se falou nos artigos Coroa de Vitrúvio e Gado de Arquimedes), que era um valor entre 3 + 10/71 e 3 + 1/7, usando um método em que ia colocando o círculo entre polígonos com progressivamente mais lados;  o arquiteto romano Vitrúvio (de que se falou nos artigos Homem de VitrúvioCoroa de Vitrúvio) em 15 AEC usou o valor 25/8 (ou 3,125); o matemático chinês Tsu Ch’ung Chih, no ano 500, calculou que era 3,1415926. Mas o primeiro método rigoroso para determinar este valor foi dado pelo matemático indiano Mādhava, em 1350, de que este valor a dividir por 4 era 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 -1/11 + …, um método que foi depois redescoberto pelo Matemático alemão Leibniz em 1673, a fórmula de Gregory-Leibniz (James Gregory foi um matemático escocês que tinha, alguns anos antes de Leibniz, trabalhado nesta fórmula). Conta-se que, após (re)descobrir este método, Leibniz ficou tão maravilhado que desistiu da profissão de advogado e diplomata para se dedicar a tempo inteiro à Matemática.

   Vários nomes e valores para esta constante foram sendo dados ao longo da História. Mas a este valor passou a chamar-se Pi  π (do Antigo Grego περιφέρεια «periferia») a partir do século XVIII. O primeiro uso registado de π é na expressão matemática “δ.π” do matemático inglês Oughtred em 1608 para expressar a razão entre a periferia e o diâmetro de um círculo. Mas o uso da letra π individualmente para expressar essa constante matemática foi em 1706 pelo matemático galês William Jones. Mas só em 1727 é que o símbolo π passou a ser aceite e usado quando o grande matemático suíço Euler (de que se falou anteriormente no artigo Pontes e Grafos) usou o símbolo π, ainda que Euler tenha inicialmente usado o símbolo para representar a razão entre a periferia e o raio do círculo (a que modernamente se chama τ Tau) e o uso moderno de π como a razão entre a periferia e o diâmetro do círculo que é o valor irracional (falou-se nos números naturais, inteiros, racionais e irracionais e reais no artigo Naturalmente Complexo) com infinitas casas decimais 3,1415926535897932384626433…

   Para a maioria dos usos práticos de π, apenas algumas casas decimais são necessárias. A maioria das pessoas aprendeu o valor 3,14 ou frações como 22/7 (aproximadamente 3,142857142857...) ou 355/113 (aproximadamente 3,14159292035...). Mas Jörg Arndt e Christoph Haenel, em 2001, calcularam que apenas 39 casas decimais são necessárias para calcular a circunferência do Universo observável com uma precisão de um átomo de Hidrogénio. Ainda assim, a busca por mais casas decimais de π mantém-se (a 11 de Novembro de 2016, utilizando um supercomputador durante 105 dias, foi calculado um recorde de 22 biliões, 459 mil milhões, 157 milhões, 718 mil e 361 dígitos de π. Ver o artigo Termos ordinais para ver como são lidos em Português estes grandes números).  Para além do prazer intelectual e emocional de estabelecer recordes (mesmo que sem utilidade prática), estes cálculos das casas decimais de π permitem testar as capacidades de supercomputadores, de ferramentas matemáticas de análise numérica (como algoritmos de multiplicação de elevada precisão de números enormes) ou avaliar aleatoriedade dos dígitos de π.

    No século XVIII,  o matemático suíço Lambert provou que  π é um número irracional (não pode ser escrito com precisão como a divisão de dois números inteiros) logo tem infinitas casas decimais sem que haja um padrão regular de dígitos repetidos em conjunto e, em 1882, o matemático alemão Lindemann provou que, além de irracional, π é também um número transcendente, mostrando assim a impossibilidade (usando apenas uma régua não graduada e um compasso) do antigo paradoxo grego da Quadratura do Círculo, em que se procurava desenhar um quadrado com a mesma área de um círculo

   Algumas fórmulas para determinar casas decimais de π, como a já citada fórmula de Gregory-Leibniz, existem mas o seu grau de sucesso é variável em termos do tempo de cálculo para cada dígito novo. Após o cálculo de 500 mil termos, produz apenas 5 dígitos corretos de π e está correto com uma precisão de 0,2. Outra fórmula, devida ao matemático indiano Nilakantha,  está correta com uma precisão de 0,002 após o cálculo dos mesmos primeiros 500 mil termos.

   Um dos métodos mais curiosos para calcular o valor de π é dada pela célebre experiência da Agulha de Buffon. Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon (1707–1788) foi um naturalista, matemático e cosmólogo cujos 36 volumes da sua enciclopédia História Natural (Histoire NaturWidgetselle) influenciaram outros famosos naturalistas como Lamarck e Georges Cuvier. O seu famoso problema da agulha foi proposto 1733 (Buffon 1733, pp. 43-45) e uma solução proposta pelo mesmo em 1777. Supondo que há uma infinita quantidade de linhas paralelas e que sobre elas é lançada uma agulha de comprimento igual ou inferior à distância entre as linhas, a probabilidade de que a agulha cruzará uma das linhas é dada por P = 2.L/π.D, onde D é a distância entre duas linhas adjacentes e L é o comprimento da agulha. Resolvendo em ordem a π obtemos que π = P.D/2.L, onde P é o número de agulhas que cruzam uma linha a dividir pelo total de linhas. A Agulha de Buffon faz parte do conjunto de métodos estatísticos conhecidos globalmente como Métodos de Monte Carlo. Escreveu também sobre o conceito de “luta pela existência” e desenvolveu um sistema de hereditariedade semelhante ao de Darwin.

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