128. Realmente complexo

A Matemática, a disciplina mais reacionária, permanentemente evolui por contestação ao que pode e não pode fazer, a História do números complexos, porque foram criados ao mesmo tempo que os números negativos no século de ouro da Matemática italiana, as suas diferentes formas e aplicações.

   A Matemática é uma áreas do raciocínio humano mais abrangente e contestatária também. A par do rigor que exige a si mesma, a História da Matemática envolve geralmente não aceitar as limitações do que se pode fazer e, usando raciocínio e nunca destruindo o que até então se pensava e fazia, abrir novas fronteiras e alargar as fronteiras do conhecimento humano. Uma das áreas que tem passado por grandes evoluções e ampliações que alargam o que anteriormente se fazia para além das limitações até então impostas é o conceito de número. Falou-se em diferentes conjuntos numéricos no artigo Naturalmente real, que aborda alguma dessa evolução e da necessidade que levou a sucessivas ampliações do conceito de número.

   O conceito de número surgiu ligado às contagens e aos chamados Números Naturais, representados por . Surgiu depois a necessidade de comparar partes e divisões de objetos e surgiram os Números Racionais , que são a divisão de dois números naturais e são representados por , cujo símbolo foi introduzido 1895 pelo matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932) da palavra italiana quoziente ou quociente em Português.  Até aos Antigos Gregos, estes eram o números que se usavam e que correspondiam a quantidades que as pessoas podiam contar no mundo físico. Mas foram os próprios Gregos quem descobriu que havia quantidades que não se podiam contar usando apenas números naturais e números racionais positivos. Quando estudavam os triângulos, depararam com um triângulo de lados 1 e 1 mas o terceiro lado eles não conseguiam representar com os números que conheciam. O valor, que se sabe agora ser √2, é aproximadamente 1,4142135623730950488016887242097… Surgiram assim os Números Irracionais que ampliaram o conceito de Números Inteiros e qur são representados por  , que vem da palavra alemã Zahl que significa número.

   Até ao século 16, estes eram os números que se conheciam e usavam mas apenas a parte positiva de cada um desses conjuntos. Mas o avanço enorme das ciências (por exemplo, na medição da temperatura como se falou no artigo Temperatura invertida) levou à necessidade de se usarem números inferiores a 0, situação desconfortável para a maioria dos matemáticos que recusavam a noção de números mais pequenos do que 0 e não viam uma correspondência com quantidades físicas. Enquanto os matemáticos ponderavam sobre a inclusão dos números negativos nos seus conjuntos matemáticos, surgiu em Itália neste século de ouro da Matemática italiana um novo conjunto numérico, conhecido como os Números Complexos e representados por .

   Em Itália, nas ruas de Veneza, faziam-se duelos intelectuais, em que se desafiavam com problemas matemáticos em vez de espadas ou armas de fogo. Um desses matemáticos era Niccolò Fontana, conhecido como Tartaglia devido à sua gaguez e de que se falou em Titubear complexo. A par da resolução de problemas clássicos (como a medição de volumes de água usando recipientes não marcados de que se falou no artigo De garrafões a bolas de golfe) Tartaglia desenvolveu uma técnica de resolução de equações cúbicas com os quais arrasava os seus rivais. Naquela altura, apenas a fórmula para resolver equações quadráticas se conhecia e os matemáticos suspeitavam que uma fórmula semelhante mas para equações cúbicas não existisse. Mas Tartaglia apresentava problemas que envolviam a resolução de equações cúbicas e apresentava a solução (mas não a resolução) aos seus adversários quando estes desistiam.

   O Matemático italiano Girolamo Cardano (1501-1576) depois convenceu Tartaglia a revelar a sua fórmula com a promessa de não a publicar antes de Tartaglia o fazer. Mas Cardano ampliou a noção da resolução de equações e publicou-as antes de Tartaglia o fazer porque o matemático Scipione del Ferro, professor de Tartaglia, já as tinha encontrado antes de Tartaglia mas  não as tinha publicado. A equação era incontestavelmente verdadeira e apresentava as soluções corretas mas exigia não só o uso dos ainda debatidos números negativos como ainda por cima a raíz quadrada desses números.

   Os números inteiros permitem responder à questão “que número somado a 3 dá zero” e os números irracionais permitem responder à questão “que número multiplicado por si mesmo dá 2” mas ainda não havia forma de compreender e fazer operações com números negativos e menos ainda com a raíz quadrada de números negativos. Até que o matemático italiano Rafael Bombelli (1526-1592) publicou o seu livro L’Algebra em 1572 no qual foi o primeiro europeu a explicar as operações básicas com números negativos, estabelecendo pela primeira vez as conhecidas regras “mais vezes mais é igual a mais, menos vezes menos é igual a mais, mais vezes menos é igual a menos e mais vezes menos é igual a menos”.

   Também os Números Complexos foram abordados por Bombelli que tornou claras as operações com eles. Um número complexo surge quando se tenta calcular a raíz quadrada de um número negativo. Isso é conseguido introduzindo a definição de unidade imaginária representada por i, em que × i = -1. Assim, uma equação como x² + 9 = 0, que não tem uma solução no conjunto dos números reais (que número multiplicado por si mesmo e adicionado a 9 dá zero), tem duas soluções -3i e 3i porque (-3i) × (-3i) + 9 = (-3)×(-3)×i×i + 9 = 9×i² + 9 = 9×(-1) + 9 = -9 + 9 = 0 e 3i × 3i + 9 = 3×3×i×i + 9 = 9×i² + 9 = 9×(-1) + 9 = -9 + 9 = 0. A necessidade de usar i em vez de usar √-1 surge porque há uma regra das operações com números reais que não se aplica aos números complexos. Se a e b forem dois números reais, então √(a×b) = √a×√b. Mas, quando se tem √-1×√-1 ≠ √(-1×-1 ) = 1. Nos números complexos, √-1×√-1 = i × i = -1. Para evitar a confusão com a regra para o conjunto dos número reais porque os números complexos não são nem positivos nem negativos, não se usa √-1 mas i.

   Bombelli chamava “mais de menos” ao que chamamos hoje i e “menos de menos” a –e apresentou as regras “mais de menos vezes mais de menos (i×i) é negativo, mais de menos vezes menos de menos (i×-i) é positivo, menos de menos vezes menos de mais (-i×i) é positivo e menos de menos vezes menos de menos (-i×-i) é negativo”. Um número complexo é constituído por duas partes, a parte “real” a e a parte “imaginária” bi formando o número complexo a + bi. A adição e a subtração de dois números complexos efetua-se somando ou subtraindo as partes reais entre si e somando ou subtraindo as partes imaginárias entre si. Por exemplo, os números complexos -2 + 3i e 1 + 2i podem ser somados e subtraídos juntando as partes reais e complexas para se obter  (-2 + 1) + (3 + 2)i = -1 + 5i. Já as multiplicações e divisões são mais complicadas mas são possíveis, obtendo-se um outro número complexo. Geometricamente, um número complexo pode ser representado como o vértice de um rectângulo formado pela parte real e pela parte imaginária. Esta representação de um número complexo como abi é chamada forma algébrica.

   Os matemáticos tiveram dificuldade em aceitar e compreender estes novos números negativos e números complexos. Ainda no século 17, Descartes dizia sobre estes números complexos que “por vezes só com a imaginação alguém consegue visualizá-los nas equações que descrevi mas por vezes não há uma quantidade que corresponda ao que imaginámos“, criando assim o termo imaginários pelo qual estes números são também  injustamente designados já que  são tão reais como qualquer outro número “real”. Mas, no século 18, os números complexos já eram aceites e usados como qualquer outro número. No início do século 20, em 1902, o matemático de nacionalidade francesa Jean-Robert Argand introduziu a interpretação geométrica dos números complexos num sistema de coordenadas cartesianas fazendo uma representação chamada forma rectangular ou forma cartesiana. Este representação geométrica tinha já sido proposta em 1685 pelo matemático inglês John Wallis no seu livro De Algebra tractatus e em 1797 pelo matemático dinamarquês Caspar Wessel (1745-1818) mas essas ideias foram ignoradas na altura.

   Uma outra representação dos números complexos explora o ângulo ϕ formado pelo número complexo em relação ao eixo real (chamado argumento) e ainda a distância ρ do complexo à origem (chamado módulo) e é chamada forma polar. Usando o Teorema de Pitágoras, constatamos no complexo bi, que a tangente de ϕ é igual a b / a e que ρ é igual a √(a² + b²). Esta representação de um número complexo z = ρ (cos ϕ + i.b.sen ϕ),  é geralmente resumida como z = ρ.cis ϕ, e esta forma facilita o cálculo da multiplicação, divisão, exponenciação e radiciação de números complexos. Por exemplo, os complexos na forma polar z = 2.cis 56º e w = 3.cis 30º. Então z × w = 2.cis 56º × 3.cis 30º = 2×3×cis (56º + 30º) = 6.cis 86º; z/q = 2.cis 56º × 3.cis 30º = 2/3×cis (56º – 30º) = 2/3.cis 26º e z³  = 2³.(3.co56º 3.ise56º) = 8.3.cis 56º = 24 cis 56º.

   No século 18, alguns matemáticos descobriram algumas ligações matemáticas interessantes ligadas aos números complexos. Em 1714, o matemáticos inglês Roger Cotes  descobriu que i.x = ln (cos x + i.sen x), em que ln representa o logaritmo natural (falou-se de logaritmos no artigo Escalas tremidas) mas não desenvolveu mais o conceito.  Em 1748, o famoso matemático suíço Leonhard Euler fez a ligação em falta e publicou a famosa Fórmula de Euler que tem como caso particular a famosa Identidade de Euler, que liga 5 importantes constante matemáticas, 

   Foi criada uma nova forma de representar números complexos, a forma exponencial.

   Os números complexos permitem também a veracidade do Teorema Fundamental da Álgrebra que nos diz que um polinómio de grau n tem exatamente n raízes. Assim alargamos o número de raízes de uma parábola como x² + 1 (que não tem raízes reais) para ter exatamente 2 raízes complexas.

 

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