17. Naturalmente complexo

  Os diferentes conjuntos numéricos, o que os distingue e a origem dos seus nomes.

N   Os primeiros números que o Homem conheceu eram os que usava para indicar as quantidades dos objectos que via. Uma borboleta, duas pessoas, três carneiros, quatro abelhas, … Esse conjunto de números viria a ser chamado de Conjunto dos números Naturais e teria como símbolo N (um N maiúsculo com um traço vertical junto à primeira perna, para o distinguir da letra N) São os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, …, 12 874, …, 7 481 649 145 150, …, isto é, todos os números positivos que não têm vírgula.

Prédiocompzb   Mas o Ser Humano, à medida que a sua cultura se ia expandindo, teve necessidade de inventar outros números. Surgiu-lhe a necessidade de se referir a quantidades negativas, ainda inteiras, mas menores do que zero. Se eu tenho 3€€ e compro uma revista por 5€ €, eu fico a dever 2€ €; se eu estou no topo de uma escada com 10 degraus e desço 2 degraus, fico dois degraus abaixo, o que é representado pelo sinal negativo antes do número: -2. Em termos matemáticos essa é a resposta à pergunta: Qual é o número que, somado a 2, dá 0?
   Basta pensar num edifício: o primeiro número é o andar em que estamos e, se adicionarmos, subimos essa quantidade de andares e, se subtrairmos, descemos essa quantidade de andares. Assim, -2 + 3 = 1 ou 1 – 4 = -3 
Esse conjunto de números viria a ser chamado de Conjunto dos números Inteiros e teria como símbolo compzb (um Z maiúsculo com um traço oblíquo paralelo ao traço, para o distinguir da letra Z) São os números …, -1 412, …, -786, …, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …, 54 567, …, 587 363 534 452 345, … isto é, todos os números (positivos, negativos e o zero) que não têm vírgula.

~ Porque escolheram a letra Z? Não tinha mais lógica que fosse a letra I, de inteiros? A escolha do símbolo vem da palavra alemã zahal, que significa número.

ChocolateQ   Mas e quando se divide algo em partes mais pequenas, que números se obtêm? Se eu tenho uma barra de chocolate e a divido igualmente por 4 amigos, com quanto chocolate é que cada um fica? Ficará com 1/4 (um quarto). Se eu tiver 3 bolos numa festa e cada um dos 19 convidados tiver uma fatia de igual tamanho, quanto bolo é que cada um fica? 3/19 (três dezanove avos). (eis mais uma palavra em que a presença ou ausência ou o tipo de acento faz toda a diferença: avÓ, avÔ, avO)
Em termos matemáticos essa é a resposta à pergunta: Qual é o número que resulta de dividir 1 por 3? Esse conjunto de números seria chamado de Conjunto dos números Racionais e teria como símbolo Q (um Q maiúsculo com um traço vertical no seu interior, para o distinguir da letra Q) São os números …, – 4/5, -56/45, 1/2, 6/7, 3/2, 23453/83424, … isto é, todos os números (positivos, negativos e o zero) que resultam da divisão de dois números inteiros.
A escolha do símbolo vem do latim Quanta que significa quantidade.

Raíz   Para a maioria das pessoas e para os usos mais frequentes no quotidiano, estes conjuntos numéricos poderão ser suficientes (aparentemente). Mas há questões que não são respondidas com um número natural, ou inteiro ou racional, tal como «num triângulo rectângulo com lados 1 e 1, quanto mede o terceiro lado?» Foi esta a questão que atormentou os matemáticos gregos clássicos, nomeadamente Pitágoras (580 AC a 500 AC), que fundou e liderou a seita místico-matemática pitagórica. Os pitagóricos acreditavam que tudo era formado por números (não só em termos figurativos mas mesmo em sentido literal). Os números que conheciam eram os números naturais, os inteiros e os racionais. Nada mais existia e tudo podia ser descrito pela divisão de dois números inteiros (mesmo os números naturais e os números inteiros não passam de números racionais, da divisão de números inteiros: 2 = 2/1 ou 6/3 ou 12/6 ou …; 0 = 0/3 ou …; -5 = -15/3 ou …)
Foi na sua incessante procura da essência numérica racional das coisas que os pitagóricos determinaram a ligação entre a Música e a Matemática, o que deu origem à escala musical. Apenas os sons produzidos por dedilhar uma corda numa parte de uma divisão inteira produz uma nota agradável. Foi o monge beneditino Guido d’Arezzo, no ano 1000 DC, que introduziu os nomes que actualmente se usam para as notas musicais: , , mi, , sol, , si. Nessa altura, era famosa uma música em Latim, criada em 770 DC. O iníco de cada verso era dado por uma nota diferente, cada uma mais aguda do que a
anterior. Arezzo então chamou a cada nota a sílaba que lhe correspondia na música. (Ut queant laxis, resonare fibris, mira gestorum, famuli tuorum, solve poluti, labii reatum sancte ioanes). Foi depois mudado o nome «Ut» para o mais musical «dó», primeira sílaba de «Dominus» (Senhor) e foi acrescentada a nota «si», iniciais de «Sancte Ionnes» (São João), com que termina o sexto verso.

compesc

compfei   Uma das curiosas interdições dos pitagóricos era a proibição de comer leguminosas (feijões, favas, …) Pitágoras acreditava que, na flatulência, perde-se uma parte da alma (era a sua explicação para a origem do ar que se soltava). Como estas leguminosas (ver o artigo Legume de ourosão   conhecidas pelos seus efeitos flatulentos, Pitágoras proibia o seu consumo.

comprb      Foi também na escola pitagórica que se descobriu uma quantidade que não podia ser descrita pela divisão de dois números inteiros. Num triângulo rectângulo de lados 1 e 1, o terceiro lado tem um comprimento de raíz quadrada de 2, número que se prova facilmente não poder ser descrito como um racional. Diz-se que os pitagóricos, horrorizados pela descoberta, mataram o discípulo que encontrou essa «aberração». Uma característica que distingue números racionais de números irracionais é que os primeiros são sempre números com finitas casas decimais (um número limitado de algarismos depois da vírgula) ou então têm infinitas casas decimais mas têm sempre o mesmo conjunto de números a repetir-se, o chamado período. 0,456 é uma dízima finita, logo é racional por isso pode escrever-se como uma fracção(57/125); 0,1121212121... é uma dízima infinita periódica (período = 21), logo é racional e por isso uma fracção (111/990); 0,5613456832... é uma dízima infinita não periódica logo é irracional e não se pode escrever como uma fracção. Mas este tipo de números não parava de aparecer. Na circunferência era o π (pi), em questões artísticas e de harmonia a razão de ouro ϕ (que terá sido descoberta por Theano, matemática e mulher de Pitágoras, após a morte deste.) Esse conjunto de números seria chamado de Conjunto dos números Irracionais e estes, juntamente com os números racionais formam o Conjunto dos números Reais. Foi dado a este o símbolo comprb (um R maiúsculo com um traço vertical ao lado, para o distinguir da letra). Durante muito tempo foram estes os números que se conheciam, esta infinidade de números que descreviam tudo o que as pessoas podiam pensar (daí o seu nome).

C   Mas continuava a haver questões que se obtinham como resposta números que não eram reais (no sentido que os matemáticos então davam ao termo). Por exemplo, a equação simples x 2 + 1 = 0 (qual o número que, multiplicado por si mesmo e adicionado a um, dá zero?) É fácil ver que o número que, multiplicado por si mesmo e subtraindo quatro dá zero é o 2 (2×2 – 4 = 4 – 4 = 0). Mas e qual o número que multiplicado por si mesmo e adicionado a um, dá zero? Durante muito tempo os matemáticos respondiam que não há esse número e descartavam a pergunta como sendo irrelevante. Mas os matemáticos são seres que não se contentam com aceitar as limitações: quando elas existem resolvem-nas ou contornam-nas. Foi o que fizeram neste caso. A solução da equação não era «real» então criaram um número a que chamaram «i» (de imaginário), que seria essa solução. i 2 = -1. Assim i 2 + 1 = -1 + 1 = 0. Este novo número tem uma série de propriedades curiosas e cria, só por si, um conjunto inteiramente novo de números, o Conjunto dos números Complexos, que tem o símbolo  C (um C maiúsculo com um traço vertical no interior, para o distinguir da letra C)

compconj   Todos os conjuntos de números «encaixam» uns nos outros, como matryoshka russas.
Os números naturais são os inteiros positivos, os inteiros são os racionais em que o denominador (o número que divide) é 1, os reais são os números racionais mais os irracionais, os complexos são os reais mais o i Um número complexo é formado por duas partes: uma parte real e uma parte imaginária (ligada a i). Por exemplo 5 + 3i. (5 + 3i)2 = 5×5 + 5x3i + 3ix5 + 3ix3i = 25 + 30i – 9 = 16 + 30i. Qualquer número pode ser escrito como um número complexo. 1 = 1 + 0i; -4,6735 = -4,6735 + 0i; … Quando um número é real a sua parte imaginária é 0, pelo que só se obtém a parte real (que é igual ao próprio número). Mas há várias formas de representar o mesmo número complexo (tal como 1/2 = 4/2 = 6/3 = 88/44 = …) Assim, -1 = 0 + i2, 5 = 0 – 5i2, …

computer   Uma das mais bonitas equações matemáticas, que liga quatro dos mais importantes números:  compfor. Esta fórmula (do profícuo Euler) liga os números: «e» (a base para o cálculo moderno e cujo símbolo é uma homenagem a Euler; «π» (a razão entre o perímetro de uma circunferência e o seu diâmetro; «0» e «1» (os números com os quais os computadores geram e gerem o nosso mundo tão eficientemente).

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