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136. Cantor infinito

Os diferentes tamanhos do infinito, como contá-los, alfabeto alemão e fratais, um arco triunfal de madeira.

   O infinito é um conceito que já se tornou bastante comum na linguagem do dia-a-dia, principalmente como «sinónimo» de «enorme». Apesar da sua entrada na linguagem comum como uma metáfora para algo muito grande ou numeroso, o significado concreto do termo é um pouco nebuloso para a maioria das pessoas. A ideia (correta) que terão é a de que é algo que é maior do que qualquer outra coisa. Uma das coisas que mais poderá surpreender é a de que o ∞ «conhecido» é constituído por vários infinitos, cada maior do que o outro.

   Os dois infinitos mais pequenos são os de que se fala quando se fala em números naturais e em números reais mas não são os infinitos que qualquer aluno de Matemática do Ensino secundário está habituado a ver e a trabalhar, a noção matemática de infinito. A história destes dois irmãos separados à nascença começa com um senhor alemão de nome Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918), que nasceu em São Petersburgo, Rússia. Desde criança evidenciou-se como um excecional violinista e com notáveis talentos musicais, mais uma vez mostrando a forte ligação que existe entre a Matemática e a Música (que começou com os pitagóricos, como visto no artigo Naturalmente real). Ao longo da sua vida profissional sofreu depressões nervosas, agravadas e permanentes após a morte de um dos seus oito filhos.

   Cantor, entre outras grandes contribuições para o desenvolvimento da Matemática, fundou e realizou importantes trabalhos na Teoria dos Conjuntos. Um «conjunto», em Matemática, é uma coleção de objectos únicos e claramente distintos como {martelo, elefante, torre, locomotiva}. Os conjuntos podem ter um tamanho finito ou um tamanho infinito. Por exemplo, {1, 2, 3, 4, 5} é um conjunto finito e {todos os números naturais} é um conjunto infinito. Foi sobre os conjuntos infinitos que Cantor se debruçou e obteve resultados surpreendentes e contra-intuitivos (perante alguns deles terá mesmo exclamado «Eu vejo-o mas não acredito»). As surpressas surgiram quando Cantor decidiu contar o número de elementos de conjuntos infinitos.

   Para contar conjuntos infinitos, Cantor imaginou uma estratégia engenhosa: compararia os conjuntos que pretendia contar com o conjunto de números naturais. No conjunto {martelo, elefante, torre, locomotiva} cada elemento pode ser associado, por ordem, a um número natural. Neste caso até ao número 4, pelo que o número de elementos do conjunto é 4 e diz-se que o cardinal do conjunto é 4. No caso dos números pares, pode-se associar cada um deles a um número natural individual e diferente. Dessa forma, o conjunto dos números pares também é infinito mas, eis algo de surpreendente, há tantos números pares quanto todos os números naturais, em vez da metade que se esperaria. No conjunto de 6 números {1, 2, 3, 4, 5, 6} há 3 números pares: 2, 4, 6. Os números pares (3) são metade dos números considerados (6). Com os números ímpares passa-se o mesmo. Ou seja, a parte é igual ao todo. Há tantos números pares como naturais. Não admira que Cantor tenha ficado abismado com este aparente paradoxo (que não é verdadeiramente, encontrando-se perfeiramente demonstrado matematicamente). Assim o cardinal dos números naturais () é igual ao cardinal dos números pares (e ao dos números ímpares).

   Ao número de elementos do conjunto dos números naturais Cantor chamou Alef-zero representado por ℵ(alef é a primeira letra do alfabeto hebraico que se escreve da direita para a esquerda). Cantor começou então a verificar se outros conjuntos infinitos também tinham o mesmo cardinal (isto é, se tinham o mesmo número de elementos). Teriam todos os conjuntos infinitos cardinal ℵ0 ? No conjunto dos números inteiros  possível associar cada número inteiro a um número natural (em que cada número inteiro positivo par corresponde o número natural que é a sua metade e cada número inteiro ímpar ao número natural seguinte).

   O Conjunto dos números racionais  colocou alguns problemas quanto ao método de contagem. É que entre quaisquer dois números inteiros há infindos números racionais. Não era já possível associar facilmente cada fração a um número natural por ordem crescente. Mas então Cantor lembrou-se de imaginar as frações numa grelha. Podia-se associar cada fração da grelha a um número natural fazendo um percurso «enviesado» mas consistentemente lógico para a célula seguinte. Cada fração numa célula corresponderia ao número natural seguinte. Desta forma, Cantor mostrou que o conjunto dos números racionais também tem cardinal ℵ0.

   Conjunto dos números reais ℝ é ainda mais complicado mas Cantor imaginou uma forma de determinar o seu cardinal, o Argumento da diagonalização. Imagine-se que se colocam todos os números reais numa lista. Obviamente que, se estão numa lista, é fácil associá-los a números naturais crescentes. O primeiro número da lista associa-se a 1, o segundo número da lista associa-se a 2, o terceiro a 3, …, o décimo-terceiro número da lista a 13; … Parte da lista poderia ser: … 0,345236425643765… 0,14534536357457… … 652,4567458478475… 1,453453645645645… … Esta lista deve conter todos os números reais. Mas, no entanto, imagine-se o seguinte número: É diferente do primeiro número da lista no primeiro (1.º) algarismo, é diferente do segundo (2.º) número da lista no segundo algarismo, …, é diferente do décimo-terceiro (13.º) número no décimo-terceiro algarismo, …, é diferente do tricentésimo sexagésimo quarto (364.º) número no algarismo tricentésimo sexagésimo quarto algarismo;… Obviamente que este número também é real.

   Mas no entanto não está nesta lista que supostamente contém todos os números reais. Há uma contradição porque uma lista que contém todos os números reais mas não contém este. Poderia pensar-se que a lista ficaria completa se se adicionasse à lista esse número. Mas se repetirmos o mesmo processo com a «nova» lista obtemos novamente um número que não faz parte da lista. Esta contradição diz-nos então que não é possível fazer um lista ordenada com todos os números reais. Dessa forma, constata-se que não é possível associar a cada número real um número natural. O cardinal de ℝ não é ℵ0. Chamou-se a esse cardinal 𝖈  (a letra «c» minúscula do alfabeto germânico Fraktur).

   Na verdade, o «alfabeto germânico» é uma forma diferente de escrever o alfabeto latino. Surgiu no início do século 16 quando o imperador Maximiliano I (1459-1519) do Sacro Império Romano-Germânico encomendou  ao pintor e matemático Albrecht Dürer uma gigante ilustração com 295 × 357 centímetros feita com 196 painéis de madeira com o desenho de um monumental arco do triunfo e um novo tipo de letra para a inscrição. O nome deste tipo de letra «Fraktur» deriva do Latim fractūra, a mesma origem da palavra fratal de que se falou no artigo Fratal como o destino. Contém as 26 letras do alfabeto latino e inclui o ß (equivalente a um duplo «s») e vogais com trema ä, ë, ï, ö e ü. As letras maiúsculas “I” e “J” são parecidas ainda que as versões minúsculas «i» e «j» sejam diferentes. Devido ao uso por parte da Alemanha Nazi, este tipo de letra caiu em desuso após 1945.

   Há vários tamanhos de infinito, todos com cardinalidade , com α a começar no zero dos naturais, o um dos reais, …, todos números inteiros não negativos.

   Há então dois números infinitos, em que O é menor do que 𝖈. Assim, o infinito  é na verdade um termo geral que abarca dois infinitos de tamanhos diferentes. O cardinal dos números reais é  «alef-um». Desta forma Cantor conseguiu o feito aparentemente impossível de contar conjuntos infinitos e determinar que uns são maiores do que outros. Parafraseando George Orwell, «Todos os números são iguais, mas alguns são mais infinitos do que outros» (adaptado de «Todos os animais são iguais mas alguns são mais iguais do que outros» no livro «Animal Farm», traduzido em Português como «O triunfo dos porcos»).

   Alguns dos resultados que Cantor viu mas não quis acreditar incluem que há tantos números pares como números naturais, que há tantas frações como números pares, que há dois infinitos, uma maior do que o outro. Nas palavras do matemático David Hilbert: «Ninguém nos expulsará do paraíso que Cantor criou».