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85. Coelhos matemáticos

   A Sequência de Fibonacci, como se forma de maneira tão simples mas está tão presente em toda a Natureza ou como um simples par de coelhos revolucionou o mundo da Matemática e deu nome a um asteróide.

   Um par de coelhos foi colocado num local cercado, por todos os lados, por uma parede. Quantos pares de coelhos podem ser gerados, a partir desse par, ao fim de um ano, sabendo que, por mês, cada par gera um novo par que se torna produtivo no segundo mês de vida?
Leonardo de Pisa, «Liber Abaci» 

O casal de coelhos é comprado ainda jovem.
Os coelhos reproduzem-se com um mês de idade, quando forem adultos.
Passado um mês, dão à luz um outro casal de coelhos, jovem.

~ No 1.º mês há 1 casal de coelhos
(O casal novo comprado)
~ No 2.º mês há 1 casal de coelhos
(O casal já é adulto)
~ No 3.º mês há 2 casais de coelhos
(O casal original adulto e um casal jovem filho)
~ No 4.º mês há 3 casais de coelhos
(O primeiro casal, o casal jovem filho e o casal que agora já é adulto)
~ No 5.º mês há 5 casais de coelhos
(2 adultos pais, 1 que agora é adulto e 2 jovens filhos)
~ No 6.º mês há 8 casais de coelhos
(3 adultos pais, 2 agora adultos e 3 jovens fihos)
~ No 7.º mês há 13 casais
(5 maduros pais, 3 agora adultos e 5 jovens filhos)
~ No 8.º mês há 21 casais
(8 maduros pais, 5 agora adultos e 8 jovens filhos)

~ No 12.º mês há 144 casais (como se pode verificar na tabela ao lado)

~ No 100.º mês há 61 305 790 721 611 600 de casais de coelhos (ver o artigo Termos ordinais sobre como ler este grande número).

   Em cada mês, há o mesmo número de casais adultos do mês anterior mais os casais que, no mês anterior, eram jovens e que cresceram mais tantos casais filhos jovens como os casais adultos do mês anterior (os pais).

   Esta foi a questão colocada a Leonardo Bigollo de Pisa, mais conhecido por Fibonacci, que a relatou no seu livro «Liber Abaci», publicado em 1202. Este livro (cujo título significa «Livre do Ábaco») continha uma série de problemas aritméticos e a respectiva resolução, e continha também os numerais hindu-árabes que facilitavam as contas e portanto dispensavam o uso do Ábaco (daí o título do livro). Falou-se nos ábacos e no seu modo de operação no artigo Pedras calculadoras.

   Fibonacci é considerado o maior matemático europeu da Idade Média e nasceu na cidade de Pisa (a com a famosa torre inclinada de onde Galileu não lançou bolas para verificar a sua teoria, como visto no artigo Cabeça na Lua) no ano 1175. Foi em Pavia que morreu, em 1525, o Marechal La Palisse, como visto no artigo Viver antes de morrer. A cidade era um grande centro comercial e tinha ligações com os mais importantes portos do Mediterrâneo, controlado a Norte pelos países europeus e a sul pelos reinos muçulmanos. O seu pai chamava-se Guglielmo Bigollo dei Bonacci (não se sabe concretamente se Bonacci era um nome de família ou uma alcunha devido à sua natureza bondosa, «bonacheirão», palavra portuguesa com a essa mesma raíz) e, por consequência, o filho era chamado Filius Bonacci («Filho de Bonacci»), o que era encurtado para Fibonacci. Guglielmo era um intermediário comercial que trabalhava na cidade de Bugia, no Norte de África controlada pelos Muçulmanos. Fibonacci recebeu assim educação muçulmana, que eram na altura o povo mais avançado da sua época porque a extensão do seu império colocou-os em contacto com a arte e a ciência clássica, hindu, chinesa, persa, bizantina,…. Na altura, os povos muçulmanos usavam já um tipo de numeração que tinham aprendido com os hindus da Índia, a que mais tarde viria a ser conhecida como numeração hindu-árabe e que hoje todos nós (ocidentais) usamos. Nessa numeração existia um algarismo na altura desconhecido na Europa: o zero. Na Europa usava-se ainda a numeração romana, o que dificultava muito a contabilidade no comércio. Fibonacci aprendeu a usar esta numeração e, mais tarde, introduziu-a na Europa.

   Fibonacci verificou que, em cada mês, o número de casais de coelhos era igual à soma dos casais dos dois meses anteriores. A sequência de casais era:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584 …
Cada valor na sequência é igual à soma dos dois anteriores.
Esta sequência viria a ser conhecida como a sequência de Fibonacci e têm-se descoberto espantosas situações em que surge esta sequência, da Matemática à Biologia, à Física, à Arquitectura,…

  Numa pinha (de um pinheiro e de onde nascem os pinhões), há várias sequências de «pétalas» que rodeiam a pinha, ou em espiral para a esquerda ou em espiral para a direita. Em cada espiral, o número de número de «pétalas» é um número da sequência de Fibonacci (pode haver 3, ou 5, ou 8... «pétalas»). O mesmo se verifica com as sementes na flor do girassol. Nas seguintes animações, é simulado o crescimento das sementes numa flor de girassol. Quando cada fila de sementes tem um número diferente dos números da sequência de Fibonacci, as filas não crescem adequadamente. Nos 3 primeiros exemplos, a razão entre as sementes de cada fila é 0,3636; 0,5 e 0,8156 e as espirais crescem afastadas e não ocupam adequadamente o círculo.

 

 

 

Mas quando a razão entre as sementes em cada fila se aproxima da razão entre sucessivos números da Sequência de Fibonacci (neste caso 1,61803), as espirais crescem adequadamente.

   O valor que produz as espirais corretas é 1,61803… e é chamada a Razão de Ouro Φ «fi». O valor de Φ = 1/2(1+sqrt(5)). Geralmente associa-se a Razão de Ouro com a Sequência de Fibonacci mas qualquer sequência em que cada novo número é o resultado da soma dos dois valores anteriores tem também uma razão entre termos sucessivos que tende para Φ, como o famoso matemático grego Euclides demonstrou em 350 AEC. Eis duas sequências numéricas que se formam como a Sequência de Fibonacci. Tanto a Sequência de Fibonacci que começa com 1 e 1 e a sequência seguinte que começa por 192 e 16 tendem para a Razão de Ouro. Não há uma ligação especial entre a duas.

Há outras ocurrências naturais em que a Sequência de Fibonacci surge:

 Numa colmeia, há 3 tipos diferentes de abelhas: a Rainha, as Obreiras e os Zangões. A Rainha produz as Obreiras e os Zangões, as Obreiras fazem todos os trabalhos na colmeia (reúnem néctar, constroem os favos, limpam a colmeia, arejam os ovos, cuidam das larvas,...) e o Zangões nada fazem além de uma única vez na sua vida em que seguem uma jovem Rainha para a fertilizar. Um consegue e morre, os outros não conseguem e morrem. De vez em quando, as Obreiras matam os Zangões da colónia, quando estão a mais. Ora a Rainha tem a invejável capacidade de poder determinar os sexo das larvas que irão nascer. Quando o ovo é fertilizado (pelo sémen do único Zangão que alguma vez fecundou a fêmea) nasce uma Obreira, com 32 pares de cromossomas. Se o ovo não for fertilizado nasce um Zangão, com 16 cromossomas (metade). Estudando estão a linhagem de 1 Zangão, este teve 1 mãe; teve 2 avôs (uma fêmea e o Zangão que a fecundou); teve 3 bisavós (a fêmea e o macho pais da sua avó e a mãe do avô); teve 5 trisavós (as duas mães e dois pais das suas duas avós e a mãe do bisavô); teve 8 tetravós (as três mães e três pais das suas bisavós);… o número de ascendentes de um só Zangão é uma sequência de Fibonacci.

   Nas plantas, são as folhas as responsáveis pela absorção da luz do sol e pela canalização da água da chuva para as raízes. Para isso, é importante que as folhas se tapem o mínimo possível. Isso é conseguido pela rotação das folhas ao longo do caule. Há duas rotações possíveis: da direita para a esquerda (222,5º) e da esquerda para a direita (137,5º). É claro que há um número limitado de rotações possíveis até que uma folha fique diretamente acima de outra. Na maioria das plantas, o número de rotações para a esquerda até que uma nova folha fique debaixo de outra, o número de rotações para a direita até que a nova folha fique debaixo de outra e o número de folhas nascidas até essa «sobreposição» são 3 números seguidos da sequência de Fibonacci.
Por exemplo, poderão ser ser precisas 3 rotações para a esquerda, 5 para a direita e 8 folhas no total para que surja uma nova folha por cima da folha «original». Ou então 8 para a esquerda, 5 para a direira e 13 folhas para a «sobreposição. Ou então,…

  As conchas de moluscos como o Náutilo formam uma espiral em cada câmara que é aproximadamente uma espiral logarítmica (a «spira mirabilis» de Bernoulli). É possível alinhar quadrados cuja área é igual aos valores da Sequência de Fibonacci. Unindo vértice opostos com uma curva, surge a espiral logarítmica

   No triângulo de Pascal, de que se falou no artigo Escada de Vénus, os números que o compõe seguem sequências de Fibonacci. Quando se soma as sucessivas diagonais (aquicom uma inclinação de aproximadamente 18,5º em relação à horizontal) do triângulo obtêm-se os valores sucessivos da Sequência de Fibonacci.                                                        

   Φ é também igual a 2cos(pi/5). Muitos outros exemplos podiam ser descritas para expressar a presença da Sequência de Fibonacci na Natureza. Mas há também muitos exageros e vontade de ver a Razão de Ouro (em especial quando "ligada" à Sequência de Fibonacci). Um exemplo disso será a “identificação” da presença da Razão de Ouro em obras clássicas ou Renascentistas, como no Homem de Vitrúvio (de que se falou no artigo Homem de Vitrúvio) ou como referido em relação à Razão de Prata e a dimensões esteticamente agradáveis (como visto no artigo Razão de Prata).

   A  20 de janeiro de 1982, no Observatório Kleť na República Checa, foi identificado, pelo astrónomo checo Ladislav Brozek, o 6765.º (seis milésimo septigentésimo sexagésimo quinto) asteróide na Cintura de Asteróides, que se encontra entre Marte e Júpiter. Como 6765 é um número na sequência de Fibonacci (o vigésimo, como se pode ver na tabela no início do artigo), foi-lhe dado o nome de 6765 Fibonacci.