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75. Elementos sólidos

   Platão é conhecido principalmente por ter sido mestre de Aristóteles e ter sido aluno de Sócrates, pela sua obra A República (onde descreve uma sociedade «perfeita») e principalmente pela sua conceção de que o mundo em que vivemos não passa da sombra de um outro, esse sim perfeito, no qual existiriam as ideias de que os objetos reais eram apenas sombras. Foi para ilustrar esta ideia que criou a célebre «Alegoria da caverna» (contida no livro VII do «A República»), na qual Sócrates descreve uma estranha caverna: «Um grupo de pessoas está acorrentada no interior da caverna de tal forma que não conseguem nem mexer a cabeça. São prisioneiros e por trás deles há um caminho mais elevado e depois uma fogueira. Pelo caminho, circulam pessoas, carregando todo o tipo de objetos. Mas tudo o que os prisioneiros conseguem ver são as sombras projetadas na parede e as vozes dos transeuntes (nem se conseguem ver uns aos outros). Para eles, toda a realidade é constituída pelas sombras que passam e pelas vozes que ecoam. A dada altura um dos prisioneiros consegue soltar-se. Liberta-se e sai da caverna. Os seus olhos doem devido à luz do Sol que pela primeira vez na sua vida ele observa. Assim que se acostuma à luz, vê pela primeira vez o mundo e compreende que a realidade que ele conhecia era uma mera ilusão. Há quem diga que voltou então à caverna e contou aos outros prisioneiros o que tinha visto. Riram-se dele. Tentou então mostrar-lhes que estavam presos e libertou-os. Eles então mataram-no. Há também quem diga que, tendo agora um maior conhecimento da realidade, apercebeu-se de qual seria o seu destino se voltasse à caverna. Optou então por não o fazer.» Um dos parceiros de conversa de Sócrates, Glauco, exclama «Mostraste-me uma estranha imagem e uns estranhos prisioneiros.» Ao que Sócrates, pela pena de Platão, replica «São como nós…»

   Um dos pontos relevantes desta noção de um mundo ideal é também a ideia de que os conceitos matemáticos, como o triângulo, a linha reta ou os números, existem verdadeiramente e o que possuímos na nossa realidade são meras aproximações imperfeitas dessa «realidade» ideal. Assim, toda a Matemática é um processo de descoberta e não de invenção. Ainda hoje, existe a dicotomia entre a visão de uma Matemática que o Ser Humano inventa (de acordo com a inflexível regra de coerência com os resultados matemáticos já provados) e a visão de que a Matemática é um simples processo de descoberta de uma realidade ideal a que todos têm acesso através da nossa mente.

   Uma das ideias matemáticas que mais apelou ao espírito de Platão e que o tornou um devoto apreciador da mais bela das ciências (ou da mais exata das artes) foi o conceito de sólidos regulares, os sólidos platónicos constituídos por figuras geométricas iguais (a mesma figura com o mesmo comprimento de lados). Apesar de se poder pensar que seria possível construir tantos sólidos regulares quantos os que se quisessem, a verdade é que só há cinco (outras tentativas de «encaixar» polígonos regulares de forma a constituir um sólido não resultam, sendo impossível ligar todo o conjunto sem buracos). Os cinco sólidos platónicos são:

Tetraedro: este sólido é formado por 4 triângulos com o mesmo lado (por outras palavras, é uma pirâmide com a base triangular).

Cubo: este é um sólido é constituído por 6 quadrados (é também conhecido como hexaedro).

Octaedro: este sólido é constituído por 8 triângulos (é mais ou menos como 2 pirâmides de base quadrada unidas).

Dodecaedro: este sólido é constituído por 12 pentágonos (polígonos com 5 lados).

Icosaedro: este sólido é constituído por 20 triângulos. 

  Os Gregos Antigos já os conheciam e eles foram descritos por Platão na sua obra Timeu (em cerca de 350 AEC). Nela, Platão relaciona o Tetraedro com o “elemento” Fogo, o Cubo com o “elemento” Terra, o Icosaedro com o “elemento” Água, o Octaedro com o “elemento” Ar e o Dodecaedro com o Éter (a substância de que seria feito o universo).

  Todos os vértices destes sólidos situam-se numa esfera, todos os ângulos das faces são iguais, todas as suas faces são polígonos regulares, todos os ângulos  formados pelas faces são iguais e em todos os vértices juntam-se o mesmo número de faces. Não é possível formar outros sólidos, além destes, com as faces todas iguais.

   Não se sabe ao certo quem primeiro descreveu estes cinco sólidos. Poderão ter sido os primeiros Pitagóricos. Euclides, (fundador das bases demonstrativas e lógicas da geometria plana, que viria a dominar o pensamento humano sobre a forma do mundo durante milénios) afirmou que terá sido um amigo de Platão. A obra fundamental de Euclides, Os Elementos, constituído por vários volumes, inclui, no final do Livro XIII uma descrição destes 5 sólidos, conhecidos normalmente por Sólidos de Platão. Esta visão de perfeição de construção, este desígnio de unicidade, capturaram a imaginação de artistas e cientistas por toda a história humana. Vários quadros de artistas do renascimento incluem desenhos dos Sólidos de Platão. Uma das influências que teve num famoso cientista foi a visão do Universo do conhecido astrónomo Kepler (o primeiro a descobrir que os corpos celestes não descrevem órbitas circulares, mas antes elipses. Pensava-se que os planetas, existindo no céu, seriam perfeitos. Como tal a sua órbita também seria uma perfeita circunferência. Kepler mostrou que na verdade era uma espécie «circunferência achatada», uma elipse).

Na altura, apenas 6 planetas eram conhecidos e Kepler via o Universo como sendo constituído pelos 6 planetas girando à volta do Sol e com os Sólidos Platónicos entre cada par de planetas. Os valores que ele possuía para as órbitas dos planetas não eram muito exactos e só por isso as distâncias que ele previa entre os planetas correspondiam mais ou menos às dimensões dos sólidos (além de que a descoberta posterior dos outros planetas invalida esta bonita, mas errónea, visão do Universo).

   Há, no Museu Ashmolean na Inglaterra, algumas pedras telhadas datadas do Paleolítico na Escócia, que algumas pessoas interpretam como sendo os Cinco Sólidos Platónicos, havendo muitas pessoas, matemáticos inclusivamente, que consideram que se trata de uma expectativa ingenuamente errada ou mesmo de um fraude elaborada.

   A minha visão sobre se a Matemática é descoberta ou inventada tem um pouco das duas perspetivas. A meu ver, a Matemática nasceu com o Big Bang, no sentido em que as proporções, as causalidades e as proporções foram estabelecidas nesse instante primordial. O Ser Humano obviamente não nasce com conceitos matemáticos impressos na sua mente (funções, números, probabilidades, et cætera), estes são ferramentas inventadas pelo cérebro humano para lidar com uma verdade subjacente à sua realidade e com a qual a sua mente foi também esculpida. Por isso estudar Matemática, para além de um prazer em si mesmo, é também revelar o que de mais primordial nos constitui: a nossa ligação a esse maravilhoso instante em que tudo «nasceu». Não concordo com Pitágoras que disse «Tudo é números». Mas, no fundo, «Tudo é Matemática», incluindo os números.