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76. Novos planos

   Um fenómeno que qualquer um, tendo a isso prestado atenção, se terá já apercebido: olhando o longínquo horizonte, quando um barco se aproxima, primeiro surgem as velas e depois o casco. Primeiro avista-se o topo de objectos distantes (as velas de um barco, o cume de distantes montanhas) e só depois a sua base. Isto ocorre pelo facto de a Terra ser uma esfera (na verdade uma elipsóide, uma elipse que, ao girar ao longo de um dos seus eixos, produz uma figura tridimensional como a de uma bola de Râguebi).

   A Terra, que se não rodasse seria uma esfera, gira sobre o seu eixo, desta forma distorcendo a sua forma (devido à força centrífuga, achata-se nos pólos). Devido também a essa rotação, existe a alternância entre dias e noites. Como o eixo de rotação da Terra não é perpendicular à sua órbita em volta do Sol, a rotação faz com que a inclinação em relação aos raios solares dos diferentes hemisférios varie ao longo do ano, o hemisfério Norte e o hemisfério Sul alternando as estações (quando a Norte é Inverno no Sul é Verão). É um fenómeno facilmente observado e que não passa despercebido a quem olhe para o horizonte.

   Mas é comum a ideia de que, na Idade Média, se acreditava que a Terra era plana. Mas já no século IV AEC (a Idade Média começou no século V DEC, com a queda do Império Romano do Ocidente, à mãos de tribos germânicas fugidas às investidas hunas), filósofos naturalistas gregos (Heraclides propôs que a Terra girava sobre o seu eixo; Eratóstenes mediu a curvatura da Terra com grande precisão) tinham já afirmado que a Terra era esférica. Nesses perto de 900 anos que separam a Antiguidade Grega da Idade Média, não se esqueceu tão evidente observação. É também amplamente divulgada a história de que Colombo, contrariando a noção de que a Terra era plana, propôs a sua esfericidade e assim encontrar um caminho por Ocidente para a Ásia, diferente do caminho por Oriente depois encontrado pelos Portugueses, o que não corresponde à verdade histórica. Habituada como a nossa civilização está às proezas da Ciência moderna nem sempre nos questionamos como, antes do advento dos computadores ou dos satélites, se chegavam a resultados científicos na Antiguidade.

   Uma dos mais curiosos resultados obtidos na Antiguidade foi a do cálculo da curvatura da Terra. Já os Gregos sabiam que a Terra não era plana. A simples observação de que as velas de um navio surgem primeiro no horizonte do que o seu casco era suficiente para se chegar à conclusão da esfericidade da Terra (a curvatura da linha do horizonte é outro indicador). Nem é preciso imagens de satélites ou as belíssimas imagens da Terra das missões Apolo para se saber isso. Já na Antiguidade o sabiam. Mas uma coisa é saber-se que a Terra é redonda (mas não exactamente esférica) outra é saber quão redonda é, por outras palavras, o seu grau de curvatura. E a resposta foi encontrada por um Matemático grego de nome Eratóstenes de Cirene do século 2 AEC. Eratóstenes era diretor da Biblioteca de Alexandria. No dia 21 de Junho (Solstício de Verão no Hemisfério Norte), na cidade de Assuão (que os Gregos conheciam como Συήνη «Syéne»), ao meio-dia, o Sol era refletido no fundo de um poço. Na mesma altura do ano, ao meio-dia, na cidade de Alexandria, mediu a sombra uma coluna. Em Assuão, o Sol era refletido no fundo de um poço (ou seja estava na vertical em relação à Terra) e, em Alexandria, fazia sombra em que o ângulo do Sol em Alexandria era cerca de 7,2º. Assim, calculou que a linha equatorial da Terra media 23º 51′ 15”. Determinou assim também que o Raio Médio Equatorial da Terra era de 6 548 quilómetros. Tendo em conta que o verdadeiro valor é de 6 378 quilómetros, o resultado foi obtido com um erro muito pequeno. Se 6 378 são os 100 % então 6 548 serão 103,15%. Esta é uma diferença de 3,15%!

   Eratóstenes é conhecido por um outro resultado importante ligado aos números primos. Um número primo é um número que só se divide de forma inteira por um e por ele próprio. Assim 2 é um número primo, 3 é um número primo, 4 não é um número primo porque se divide por 1, 4 e também por 2. Um outro Matemático grego provou que há infinitos números primos. O que não se sabia era uma forma de saber quais são os números primos. Mas Eratóstenes encontrou uma forma, que se conhece por Crivo de Eratóstenes, de que se falou no artigo Vulpinos Primos

  Na Idade Média, o conhecimento da Antiguidade Grega era tida como autoridade máxima em muitas questões. A questão com a qual Colombo se defrontou para ganhar o apoio dos Monarcas espanhóis (depois de ver recusada a sua proposta de chegar à Índia pelo Ocidente pelo rei português, D. João II) não foi sobre a possibilidade de chegar à Índia pelo Ocidente (obviamente possível já que a Terra era curva) mas sim quanto às distâncias envolvidas e se elas permitiriam a uma tripulação humana lá chegar. Teve a sorte de encontrar, a meio caminho, um Continente pela maioria dos Europeus desconhecido, que viria a receber o nome de América. A origem do nome do continente é geralmente atribuído ao nome do explorador Américo Vespúcio. Pensar-se-ia que o continente deveria talvez ter uma origem ligada ao nome de Colombo mas foi Vespúcio quem primeiro referiu que se tratava de um novo continente e não da Ásia. Outra alternativa atribui a origem do nome ao mercador inglês Richard Amerike, que financiou viagens de exploração à Terra Nova (no actual Canadá e onde tradicionalmente os pescadores portugueses iam pescar bacalhau). O mapa mais antigo que atribui o nome de América ao continente será baseado em mapas mais antigos que os pescadores de Amerike usavam um século antes de Colombo. O nome da ilha «Cuba» terá vindo ou de «Cubao» (onde há terra fértil abundante) ou «Coabana» (grande local), da língua dos povos Taínos que moravam na ilha quando a expedição espanhol lá chegou. A história de um Colombo a enfrentar a ideia generalizada de que a Terra seria plana terá surgido apenas no século 19, pelas mãos do ensaísta e autor norte-americano Washington Irving, numa ficção histórica de nome «A vida e viagens de Cristóvão Colombo» (The Life and Voyages of Christopher Columbus).

   No entanto, apesar da noção de que a Terra era esférica (ou elipsóide) datar dos Antigos Gregos, durante séculos não existiu a Matemática que permitisse estudar convenientemente a geometria desta Terra curva. Apesar de se saber que a Terra era curva, apenas a Geometria plana era conhecida. No século 3 AEC, o matemático grego Euclides de Alexandria escreveu a sua obra «Os Elementos» (dividida em 13 livros). Esquecida durante vários séculos, a sua obra foi dos primeiros livros a serem publicados, em 1482 usando a prensa recém-inventada (cujo primeiro livro que imprimiu, a Bíblia, em 1452) por Gutenberg (mais sobre ele e a origem da translinearização pode ser lido no artigo 42 Regras). Conjetura-se que, depois da Bíblia, é o livro mais vezes foi impresso, tamanho foi o seu sucesso e importância.

   Nela, Euclides parte de 5 axiomas (um axioma é uma proposição que não carece de demonstração por ser intuitivamente evidente) básicos e incontestáveis e, com base neles, construía uma série de demonstrações. Um pouco como se, usando 5 expressões de uma Língua estrangeira, se fosse a um país onde ela era falada e, a partir das 5 expressões que se tinha, se fosse reconstruindo e aprendendo toda a Língua. Podia ser, por exemplo, «Bom dia», «Que horas são?», «Quanto é?», «Sim» e «Não». Mas como poderia entender as respostas não entendendo a Língua? Talvez fosse melhor «Não compreendo porque não falo a vossa Língua», «Pode-me mostrar o caminho para…», «Indique-me onde posso comer e dormir», «Explique com sinais de mãos o que quer dizer» e «O que acabei de dizer está correto?». Talvez se governasse melhor com estas expressões, para poder ir aprendendo a Língua interagindo com os seus falantes. Talvez a expressão «Como se chama isto para o qual estou a apontar?» pudesse dar jeito e substituir uma das outras. Podia haver ainda outras expressões que ajudariam o pobre visitante a aprender a Língua do país que visitava. Provavelmente cada um teria a sua opinião sobre quais seriam as 5 expressões mais úteis para ajudar alguém, sem assistência, a aprender uma Língua estrangeira. Foi de uma base semelhante que Euclides partiu para demonstrar uma série de propriedades sobre várias figuras, fundando assim a Geometria como hoje a conhecemos, de uma forma tão sólida e incontestável que perdurou até aos dias de hoje como a única forma de se fazer Matemática (as relativamente recentes tentativas de utilizar demonstrações com base em cálculos gigantes efetuados por computadores não têm sido aceites pela comunidade matemática, como foi o caso do Mapa das 4 cores, de que se falou no artigo Reuniões coloridas).

 Partindo dos axiomas, demonstrava outras afirmações, usando-as também para demonstrações posteriores, uma construção de um imenso edifício com base em apenas 5 alicerces. Por exemplo, suponhamos que tínhamos estes axiomas, referentes a uma sala com 5 crianças e 10 brinquedos:

 1) Cada criança tem, pelo menos, um brinquedo;

 2) Cada criança demora o mesmo tempo a arrumar um brinquedo;

 3) As crianças só podem lanchar depois de arrumarem os brinquedos;

4) O Martim tem 4 brinquedos;

5) O último a chegar come pão com manteiga e não bolachas;

Daqui poderíamos então fazer a seguinte afirmação (teorema): O Martim não comerá bolachas.

   Demonstração: Há 5 crianças e, pelo axioma 4, o Martim tem 4 brinquedos. Assim, as outras crianças têm necessariamente menos de 4 brinquedos. Se outra tivesse também 4 (ou mais) brinquedos, então ela e o Martim teriam 8 brinquedos, no total. Mas assim só sobrariam 2 brinquedos para as outras 3 crianças. Mas, pelo axioma 1, cada criança tem, pelo menos um brinquedo. Assim, as outras crianças têm todas menos de 4 brinquedos e o Martim é o que tem mais brinquedos. Como, pelo axioma 2, cada criança demora o mesmo tempo a arrumar cada brinquedo, o Martim, sendo a que tem mais brinquedos, é a que demorará mais tempo a arrumá-los. Assim, como pelo axioma 3, só poderá ir lanchar depois de arrumar todos os brinquedos, será o último. Pelo axioma 5, isso significa que comerá pão com manteiga e não bolachas, c.q.d. (como queríamos demonstrar) ou q.e.d. (quod erat demonstrandum).

   A diferença entre este simples exemplo de deduções lógicas (como Sherlock Holmes faria, tendo o seu autor Arthur Conan Doyle sido, como a generalidade dos seus contemporâneos letrados, fortemente influenciado pelas demonstrações de Euclides) e os Elementos de Euclides é grande: o exemplo refere apenas uma sala com condições especiais, enquanto Euclides se refere à totalidade das figuras geométricas. Os 5 axiomas que Euclides usa para fundar toda a Geometria (plana) são: 1) Dois pontos podem ser unidos por uma recta; 2) Um segmento de reta pode ser estendido tanto quanto se deseje; 3) Em qualquer segmento de reta, uma circunferência pode ser traçada, tendo o segmento de reta como raio e o seu centro como um dos extremos do segmento; 4) Todos os ângulos retos são iguais; 5) Se duas rectas intersectam uma terceira e um dos ângulos for menor do que a soma de dois ângulos rectos, as duas rectas intersectam-se se estendidas suficientemente.

   Os Antigos Gregos não tinham a noção de infinito nem de indefinidamente, pelo que referiam um segmento a ser estendido tanto quanto se deseje, em vez de referirem uma reta de comprimento infinito. De todas as suas 5 proposições, era da quinta (realçada a negrito) que Euclides e os seus contemporâneos tinham mais dúvidas quanto à sua evidência lógica. Este proposição, conhecida também como o Postulado das Paralelas, é equivalente a dizer que duas retas paralelas nunca se cruzam. E, ao longo da História, muitos foram os que procuraram tornar o 5.º axioma desnecessário e provado usando os outros 4. Mas todas as tentativas foram em vão. Isso porque o 5.º axioma prende-se com uma característica própria do espaço em que se está a concretizar a Geometria. Num espaço plano (como uma folha de papel), é verdade que retas paralelas mantêm sempre a mesma distância entre si e nunca se cruzam. O que esses Matemáticos só tiveram noção, a partir sensivelmente do século 19, era que havia outras Geometrias, em espaços que não eram planos (Geometrias não-Euclidianas). Se o espaço for côncavo (curvo para fora de si, curvatura positiva) retas paralelas têm a distância entre si sempre a diminuir e cruzam-se em infinitos pontos enquanto que, se o espaço for convexo (curva para dentro de si, curvatura negativa), retas paralelas têm a distância entre si sempre a aumentar e nunca se cruzam. Um exemplo bom de uma curvatura positiva é o da superfície da Terra. Nela, retas paralelas (os meridianos) cruzam-se nos pólos (infinitas vezes, já que têm comprimento infinito) e a soma dos ângulos internos de um triângulo é maior do que 180º.

   E desde Einstein e a sua Relatividade Geral (que aborda a problemática da gravidade) que sabemos que a matéria encurva o espaço-plano e que não vivemos num Mundo plano, nem mesmo num Universo plano. Apenas localmente há aproximadamente áreas aparentemente planas…