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132. Construção transcendente

Os 3 problemas matemáticos gregos clássicos que esperaram séculos para se saber que são impossíveis, a quadratura do círculo, a duplicação do cubo, a trissecção do ângulo, números construtíveis, números algébricos, números transcendentes e polígonos regulares.

   A quadratura do círculo é uma expressão que se usa comummente (uma das poucas palavras em Português que tem uma dupla consoante que não o r e o s, outra é connosco) para expressar a impossibilidade de resolução de um problema. A questão não se prende com a forma do círculo ser impossível de transformar na forma de um quadrado, é a determinação da área. A quadratura do círculo é um de 3 problemas geométricos de que os Gregos procuraram uma solução que usasse somente uma régua não graduada e um compasso, os instrumentos que os matemáticos gregos possuíam.

      Os 3 problemas geométricos da Antiguidade usando régua não graduada e compasso: a quadratura do círculo, a duplicação do cubo e a trissecção do ângulo. O primeiro problema (Quadratura do Círculo) prende-se com a determinação de um quadrado que tenha a mesma área que um dado círculo (uma circunferência é a linha , o círculo é a linha e o seu interior ). A área de um círculo é Pi vezes raio ao quadrado (π.r2), em que Pi (π) é um número irracional, ou seja, uma dízima infinita não periódica. Depois da vírgula há infinitos algarismos. π = 3,1415926… Falou-se no número π no artigo Agulhas circulares. Como a área do círculo é π.r2, um quadrado com a mesma área tem de lado √π.r. Mas provou-se, já no século XX, que de facto nenhum dos 3 problemas tem solução.

   Isto é devido a um conceito chamado números construtíveis, números cujo valor exato pode ser representado usando apenas uma régua não-graduada e um compasso. Há 5 operações que se podem fazer usando apenas estas regras para representar quantidades. Tendo 2 comprimentos «a» e «b», é possível fazer uma soma juntando a extremidade de um ao outro, para obter a + b. Também é possível fazer uma subtração colocando um comprimento sobre o outro e obtendo a – b. É ainda possível fazer uma multiplicação, desenhando um triângulo retângulo com base 1 e hipotenusa de comprimento «a». Se colocarmos o comprimento «b» sobre a base 1, então a hipotenusa do novo triângulo retângulo terá de comprimento a×b. Da mesma forma, é possível fazer uma divisão, desenhando um triângulo retângulo com base «b» e hipotenusa de comprimento «a». Se colocarmos o comprimento 1 sobre a base «b», então a hipotenusa do novo triângulo retângulo terá de comprimento a/b. Finalmente, é possível extrair a raíz quadrada (e todas as outras raízes de índice par), juntando à quantidade «a» um comprimento «1» e desenhando o semicírculo de diâmetro «a+1». Traçando o comprimento vertical da extremidade de «a» até ao semicírculo, esse terá o comprimento √a.

   A questão surge com -se com a necessidade de apenas usar uma régua não graduada e um compasso para representar √π. Uma vez que a raíz quadrada é construtível, fica apenas a questão de saber se π é construtível. Durante muitos séculos, ninguém sabia se era possível ou se era impossível. Até que, em 1837, o matemático francês Pierre Wantzel (1814-1848) provou que um valor só é construtível se for a solução de uma equação polinomial de coeficientes racionais (isto é, um número é construtível apenas se for algébrico). A resolução destes problemas geométricos clássicos usando apenas régua e esquadro estava agora dependente de saber se π é algébrico ou transcendente. Mas só 45 anos depois do artigo de Wantzel é que o matemático alemão Ferdinand von Lindmann (1852-1939) provou que  π é transcendente. Estava assim mostrada a impossibilidade dos problemas clássicos gregos usando apenas rágua e compasso não-graduados. Curiosamente uma forma de experimentalmente determinar o valor de π com valores progressivamente mais aproximados. A forma de o fazer é usar uma experiência conhecida com a Agulha de Buffon: Traçando linhas paralelas com uma distância de 1 cm e deixarmos cair consecutivamente uma agulha com 1 cm de comprimento sobre as linhas, a probabilidade de que a agulha intersecte uma linha aproxima-se do valor de π. Falou-se neste processo em Agulhas circulares.

   O segundo problema (Duplicação do Cubo) prende-se com a determinação do lado de um cubo que tenha o dobro do volume de um outro cubo. A questão poderá parecer simples mas se se colocar apenas um cubo ao lado de outro (duplica o lado) deixamos de ter um cubo. Se fizermos um cubo colocando 8 cubos (2 para cada lado) obtemos um cubo mas com oito vezes o volume do anterior. Novamente obtém-se uma solução que envolve um número transcendental (a Constante de Délio, 3√2, ou seja a raíz cúbica de 2) impossível portanto de fazer com régua e esquadro. Este problema surge numa lenda grega onde os Atenienses, afligidos por uma doença, procuraram o conselho de um Oráculo. Este aconselhou-os a duplicar o volume do altar cúbico do deus Apolo na ilha de Delos no mas no templo de Delos a norte de Atenas para lhe apaziguar a ira. O Atenienses construíram então um novo altar cúbico com o dobro de cada lado. No entanto, eles teriam de construir um novo altar com o dobro do volume e não do comprimento de cada lado. A praga manteve-se.

   O terceiro problema (Trisecção do Ângulo) prende-se com um método para dividir um ângulo qualquer em 3 ângulos iguais usando apenas a régua não graduada e o esquadro. O verdadeiro problema aqui prende-se com a régua não graduada. É possível trissectar qualquer ângulo com régua graduada e um esquadro. Há também alguns ângulos (90º, 180º,…) que são trissectáveis com a régua não graduada e o esquadro. Mas o problema é para o fazer a qualquer ângulo, não apenas a alguns. Para qualquer valor natural N, um ângulo com amplitude 2π ⁄ N is construtível (trissectável) se e só se N é uma potência de base 2 ou o produto de uma potência de base 2 com o produto de um ou mais primos de Fermat distintos.

   Outro dos problemas matemáticos gregos clássicos que o artigo de Wantzel abordou foi o de saber se é possível desenhar qualquer polígono regular usando  apenas régua e esquadro. Todos os polígonos com um número par de lados são construtíveis mas apenas se conhecem 31 polígonos regulares com um número ímpar de lados. Os polígonos regulares não são construtíveis se n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 33, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 81, 82, 83, 84, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 97, 98, 99, 100, 101, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127…

                                          Construção do polígono regular com 17 lados heptadecágono.