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82. Escada de Vénus

   O Ser Humano surgiu, há cerca de 200 mil anos, em África (mas poderemos ser mais antigos: recentemente, em Maio de 2017, foram datados, após décadas de trabalho, fósseis de 5 indivíduos da nossa espécie em Jebel Irhoud (جبل إيرهارد «Monte Irhoud» em árabe) em Marrocos que terão 300 mil anos). Uma das características que nos (aparentemente) distingue dos outros Seres Vivos da Terra é o prazer em encontrar padrões e beleza no que nos rodeia. Uma das manifestações dessa característica humana é o que geralmente se chama Matemática. A palavra vem do verbo do Antigo Grego μαθημα «máthēma»saber/conhecer – que se transforma num substantivo colocando o sufixo τικός «ticos» – como, em Português, se pode adicionar o sufixo «ento» para tornar um verbo num substantivo – obtendo-se assim μαθηματικός «máthēmaticos» – sabedoria/conhecimento.

   Já em artigos anteriores, como no artigo Fratal como o destino ou Elementos sólidos ou Razão de Prata, se falou nessa busca por padrões e beleza na Matemática. Um desses padrões que reúne simplicidade com alcance e beleza é o que é chamado de Triângulo de Pascal.  Foi o matemático e inventor francês Blaise Pascal (1623-1662) que escreveu, no seu «Tratado sobre o Triângulo aritmético», em 1653, sobre um padrão de números que forma este triângulo com muitas propriedades interessantes, apesar da sua construção simples e aspeto modesto (aqui estão representadas as primeiras dez filas). 

   Uma das muitas aplicações do Triângulo de Pascal liga-se ao poema de Fernando Pessoa (através do seu heterónimo Álvaro de Campos) que diz «O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso». A beleza matemática do Binómio de Newton, que o torna tão belo como a Vénus de Milo, surge com este “simples” triângulo, conhecido, há muito, em várias partes do mundo. Chama-se a Escadaria do Monte Meru na Índia (o Monte Meru é, nas religiões hindu e budista, uma montanha sagrada com cinco picos e que os telhados dos templos budistas representam), o Triângulo de Khayyám na Pérsia (Omar Khayyám (1048-1131foi um célebre matemático, poeta, filósofo e astrónomo persa), o Triângulo de Yang Hui na China (Yanh Hui (1238–1298) foi um importante matemático chinês) e Triângulo de Pascal no Ocidente (na Itália também lhe chamam Triângulo de Tartaglia. Niccolò Fontana “Tartaglia” (1500-1557) foi um engenheiro, topógrafo, tradutor e matemático italiano).

   Este triângulo poderá parecer pouco interessante e uma simples coleção de números mas contém uma grande quantidade de padrões e respostas a perguntas simples cuja resposta é complexa sem ele. A forma como é construído é muito simples: cada número é a soma dos dois números que estão diretamente acima dele. Começa-se pelo número 1, que é a linha 0. Como, à sua esquerda e direita nada há, soma-se 0+1 e 1+0 para formar a linha 1, que é 1 1. Para a segunda linha, soma-se 0+1, 1+1, 1+0, obtendo-se 1 2 1. Para a terceira linha, soma-se 0+1, 1+2, 2+1, 1+0, obtendo-se 1 3 3 1. A quarta linha é 0+1, 1+3, 3+3, 3+1, 1+0, obtendo-se 1 4 6 4 1. Seguindo este padrão, pode-se construir o triângulo com o número de linhas que se deseje.                           

   Há muitas características especiais neste triângulo, além da sua simetria (o lado esquerdo do triângulo é sempre igual ao lado direito invertido) e do segundo número de cada linha ser sempre igual ao número da linha. Uma das mais usadas e úteis características e que fornece ao Binómio de Newton a sua beleza tem a ver com contagenscombinações. Imagina-se que se tem 5 pessoas de que é preciso formar um grupo com 3 pessoas. Quantos grupos diferentes se podem fazer escolhendo, deste grupo de 5 pessoas, 3 para fazer o grupo?

   Sejam as 5 pessoas representadas pelas letras A B C D E. Podem ser feitos apenas 10 grupos diferentes:

   Se fossem 8 pessoas e se se quisesse fazer grupos de 4, esta tarefa seria mais complicada  e demorada (seriam 70 grupos diferentes!), se fossem 10 pessoas para fazer grupos de 5, seria ainda mais complicada e demorada (seriam 252 grupos diferentes!) Esta tarefa de contar quantos grupos diferentes se podem formar é tornada muito mais simples usando o Triângulo de Pascal. Numerando cada linha e cada coluna começando por 0, veremos que, na linha 5 e na posição 3, está o número 10, o número de grupos diferentes que se podem fazer de um grupo de 5 pessoas escolhendo 3. Olhando para a linha 8 e posição 4, está o número 70, o número de grupos diferentes que se podem fazer de um grupo de 8 pessoas escolhendo 4. Olhando para a linha 10 e posição 5, está o número 252, o número de grupos diferentes que se podem fazer de um grupo de 10 pessoas escolhendo 3.

   E é aqui que o Binómio de Newton se embeleza, nesta complexidade nascida da simplicidade. O Binómio de Newton responde à questão de saber a que é igual (x + y)ⁿ. Por exemplo, quanto é (x + 1)³ ou mesmo 11⁶ (aqui, x pode ser 10 e y pode ser 1).

O Binómio de Newton afirma que  , em que  são as Combinações de n elementos em grupos de p elementos. Ou seja, o número na linha n na posição p do Triângulo de Pascal e ∑ indica a soma à medida que p aumenta uma unidade até chegar a n. Assim, (x + 1)³ = 1.x³.1⁰ + 3.x².1¹ + 3.x¹.1² + 1.x⁰.1³ = x³ + 3x² + 3x + 1. Também 11⁶ = (10 + 1)⁶ = 1.10⁶.1⁰ + 6.10⁵.1¹ + 15.10⁴.1² + 20.10³.1³ + 15.10³.1⁴ + 6.10².1⁵ + 1. 10⁰.1⁶ = 1 771 561.

   Também cada linha individual tem propriedades especiais: a soma de todos os números de uma linha é igual a 2 elevado ao número dessa linha (por exemplo, = 8 = 1+3+3+1, os elementos da linha 3. Ou 2= 1 +7+21+35+35+21+7+1 = 128). E cada linha também forma 11 elevado ao número dessa linha, desde que se multiplique cada valor da linha por 10 elevado à sua posição. Por exemplo, 11² = 121, 11⁶ = 1 771 561. 

   Há muitos outros padrões numéricos na Triângulo de Pascal. Por exemplo, a primeira diagonal contém só 1s (1, 1, 1, 1, …); a segunda diagonal todos os números naturais por ordem crescente (1, 2, 3, 4, 5, …); a terceira diagonal os números triangulares por ordem crescente (1, 3, 6, 10, …); a quarta diagonal os números tetraédricos por ordem crescente (1, 4, 10 , 20, 35, …).

   Também a Sequência de Fibonacci aqui se encontra.  Recentemente, encontrou-se o número π ou o número e no triângulo. Assim, se se quiser fazer uma pirâmide de laranjas, só um número tetraédrico, presente no Triângulo de Pascal, será possível.