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119. Titubear complexo

A História de um menino italiano órfão de pai com 6 anos, que quase morreu com 12 anos, autodidata que contribui decisivamente para a Época Dourada da Matemática no século XVI e cujo gosto por resolver problemas e enigmas matemáticos levou à descoberta de um novo tipo de números que é essencial para a sociedade tecnológica do século XXI.

   Era Fevereiro, num dia de intensa chuva. Uma viúva e dois dos seus três filhos refugiam-se na Catedral da sua cidade para fugir aos invasores. Mas um soldado inimigo encontra-os e ataca a mãe e as crianças. O rapaz, com 12 anos, faz-lhe frente e é atingido na cara por um golpe de espada. Pensando erradamente que a criança está morta, o soldado deixa-os em paz. A mãe, pobre e viúva, lambe pacientemente as profundas feridas do filho até ele recuperar. Este cresceu com profundas sequelas na mandíbula, garganta e palato que escondia sob uma barba espessa e que o deixaram gago a vida toda. O menino era o Matemático Niccolò Fontana que cresceu com a alcunha “Tartaglia“, do verbo italiano “Tartagliare” – gaguejar/titubear.

   Corria o ano de 1512. Há 18 anos que o norte de Itália estava em polvorosa, devido às Guerras Italianas (1494-1599) que envolveram as cidades-estado italianas, os Estados Papais, a França, a Espanha e o Sacro Império Germânico num total de 11  guerras contíguas. Durante a Segunda Guerra Italiana, a Guerra da Liga de Cambrai, os Estados Papais aliaram-se à República de Veneza para expulsar os franceses. Uma das cidades que fazia parte da República de Veneza desde 1426 era Bréscia, defendida por soldados venezianos. O exército do rei francês Luís XII cercou a cidade que resistiu durante uma semana. No dia 18 de Fevereiro, as tropas francesas entraram na cidade que pilharam e massacraram os seus habitantes. Foi durante o massacre que a família Fontana se refugiou na Catedral (na altura a única). O pai tinha sido carteiro e foi morto por ladrões em 1506, tinha Niccolò 6 anos. Quando tinha 12 anos, Niccolò Fontana foi ferido por um golpe de espada de um soldado francês que saqueava a Catedral de Bréscia.

   Foi também na guerra seguinte (1521-1526) das Guerras Italianas que morreu o conhecido Marechal francês La Palice, na Batalha de Pavia em 1525, como visto no artigo Viver antes de morrer. Nesta altura, Portugal estava ocupado com os Descobrimentos, tendo conquistado Goa dois anos antes (1510) e Malaca o ano anterior (1511). Em 1512, Portugal enviou um emissário para a Tailândia e a primeira de duas expedições às Ilhas das Especiarias (as Ilhas Molucas). Dez anos depois, em 1522, um dos navios da expedição espanhola liderada pelo navegador português Fernão de Magalhães com destino às Ilhas Molucas foi o primeiro a dar a volta ao Mundo  (um ano após a morte de Fernão de Magalhães nas Filipinas).

   Até aos 6 anos, Niccolò Fontana “Tartaglia” aprendeu o alfabeto e os números. Mas, depois que o seu pai foi morto, a sua família  tornou-se pobre e Niccolò Fontana tornou-se autodidata, aprendendo e desenvolvendo a Matemática do seu tempo, em particular através de jogos e problemas com que os Matemáticos de Veneza, cidade na qual viveu quando se tornou adulto, competiam. Foi na resolução desses problemas que ele usou e explorou o triângulo de números que viria a ser conhecido como Triângulo de Pascal, de que se falou no artigo Escada de Vénus, que ainda é geralmente chamado em Itália de Triângulo de Tartaglia.

   Outros contributos de Niccoló Fontana para a Matemática do seu tempo envolvem o seu estudo  da Balística e a trajetória de balas de canhão, em particular sobre o seu alcance. Os seus estudos sobre trajetórias, que incluiu no seu livro de 1537 “La Nova Scientia“, foi depois estudado e ampliado por Galileu no estudo da Gravidade, como visto no artigo Quedas graves. Niccolò Fontana reuniu vários problemas matemáticos do seu tempo, onde incluiu problemas de medição de volumes como o de obter 4 litros de água usando apenas um garrafão de 3 litros e outro de 5 litros, de que se falou no artigo De garrafões a bolas de golfe. Outro dos seus contributos foi ampliar a fórmula de Herão para a área de um triângulo, de que se falou no artigo Herão tão fáceis, para uma fórmula para o volume de um tetraedro. Mas, fora de Itália, Niccolò Fontana “Tartaglia” é mais conhecido pela sua resolução de equações cúbicas, que originou uma disputa toda a sua vida com o seu anterior amigo, o matemático italiano Girolamo Cardano.

   Mas talvez um dos seus mais duradouros contributos para a Matemática tenha sido o facto de a sua fórmula para o cálculo das raízes de um equação cúbica ter levado à descoberta de uma nova classe de números, os Números complexos, representada por , um tipo de números que abarca e amplia todos os restantes e dos quais se falou no artigo Naturalmente real. Os números complexos surgem quando é necessário calcular a raíz quadrada de números negativos, como na altura da divulgação desta resolução de equações cúbicas da forma x³ + p.x + q = 0 muitas vezes surgia. Como surge, por exemplo, na equação cúbica x³ – 15x – 4 = 0. Aplicando a fórmula de “Tartaglia”, x = ³√(2 + 11√-1) + ³√(2 – 11√-1).

   Esta noção da raíz quadrada de números negativos tinha sido aludida pelo já citado Herão no século 1 em Alexandria. Mas o conceito era demasiado estranho a todos e a ideia não vingou. Só no século 16 é que o matemático italiano Rafael Bombelli (1526-1572) publicou o seu livro em 1572 intitulado “L’Algebra” onde expôs as regras da Álgebra conhecida na altura, numa linguagem acessível mas rigorosa.  Foi aqui  que Bombelli foi o primeiro matemático europeu a mostrar como fazer operações matemáticas com números negativos (como "mais vezes menos é menos") e como lidar com raízes quadradas de números negativos. Por exemplo, notou que a solução ³√(2 + 11√-1) + ³√(2 – 11√-1) é igual a 4 pois (2 + √-1)³ = 2 + 11√-1 e (2 – √-1)³ = 2 – 11√-1 usando o Triângulo de Pascal (“Tartaglia”), que é a solução da equação x³ – 15x – 4 = 0 tem como solução 4 já que 4³ – 15×4 – 4 = 64 – 60 – 4 = 0.

   Bombelli é assim visto como o inventor (ou descobridor) dos números complexos pois foi com base no seu livro Bombelli (que o famoso matemático Leibniz, após ler, afirmou que Bombelli era o "incontestável mestre da arte analítica) que eles ganharam uma firme realidade. As operações com estes estranhos números dão-lhes uma realidade que desafia a imaginação, razão pela qual Descartes lhes chamou “imaginários“. Não porque não fossem tão reais como o outros números mas porque usá-los e fazer operações com eles exigia uma profunda imaginação e criatividade. Foi no século XVIII que o matemático Euler identificou √-1 com a  letra i. Assim, Bombelli deu-lhes forma, Descartes deu-lhes nome e Euler deu-lhes o rosto.

   A forma moderna para os números complexos é a + bi, em que a é um número real e bi é um número imaginário. A palavra “complexo” surge para designar esta combinação de duas realidades numéricas, já que a palavra “complexo” não tem apenas o significado de complicado mas também um conjunto de coisas ligadas por um nexo comum, como usado na expressão “complexo industrial”, um conjunto de instalações ou edifícios coordenados para facilitar o desempenho de uma atividade. É com a existência dos números complexos que fica estabelecido o Teorema Fundamental da Álgebra: qualquer equação polinomial de grau n tem exatamente n raízes complexas (já que todos os números naturais, inteiros, racionais ou reais são números complexos em que a parte imaginária é 0).

   E as aplicações modernas dos números complexos incluem moldar e prever o sentido e a intensidade do movimentos de fluidos, a voltagem e a corrente elétrica numa grelha, processamento digital de imagens, controlo da movimentação de aviões (de que se falou no artigo Sonhos no ar) num aeroporto, Mecânica Quântica e Relatividade Geral (essenciais para os sistemas de posicionamento global como o GPS), Fratais (de que se falou no artigo Fratal como o destino) entre muitas outras.