Arquivo da Categoria: Linguagem

114. Lógico, meu caro Holmes

Como a lógica matemática constrói raciocínios lógicos e válidos usando preposições, operações, tabelas de verdade, princípios para aprimorar o raciocínio e como ajudaram um detetive a resolver um crime misterioso.

    Ocorreu um crime numa mansão e o detective entrevistou quatro pessoas suspeitas: o mordomo A., a cozinheira B., o jardineiro C. e a faz-tudo D.. A partir das histórias que elas contaram, o detetive concluiu que:
se A. disse a verdade então B. também disse a verdade;
– B. e C. não podem ter ambos a dito a verdade;
– C. e D. não podem ter ambos mentido;
se D. disse a verdade então B. mentiu.

   Quem disse a verdade, quem mentiu? Usando princípios lógicos e usando linguagem matemática para descrever as suas conclusões, o detetive desenrolou a teia de mentiras e descobriu quem estava a mentir garantidamente (A e B) e mandou para casa os outros de quem nada conseguiu concluir (C e D). Os princípios lógicos que usou são simples de compreender e usar e permitem obter conclusões válidas sobre a Verdade e a Falsidade dos argumentos. Desde pelo menos a Grécia Antiga que as pessoas se preocupam em saber como pensar adequadamente, como tirar conclusões verdadeiras, em estudar as leis do pensamento correto, no que se pode agrupar na disciplina da Lógica. Na Idade Média, o conhecimento humano era dividido em 7 Artes Liberais:  Gramática, Lógica e Retórica (pertencentes ao Trivium), Aritmética, Música, Geometria e Astronomia (pertencentes ao Quadrivium). A Lógica é a disciplina do pensamento correto e válido e serve de base à Matemática, à Filosofia e à Programação Informática.

   Na base da Lógica Matemática está a preocupação em estruturar melhor os raciocínios de forma a retirar conclusões válidas (ou saber quando elas não são válidas) trabalhando sobre Preposições. Uma Preposição é toda a expressão que pode ser verdadeira ou falsa. A frase “A maçã vermelha” não é uma preposição. Mas a frase “A maçã é vermelha” pode ser verdadeira ou falsa logo é uma preposição. Quando uma preposição é verdadeira, tem o valor lógico de Verdade, representado por V ou 1. Quando uma preposição é falsa, tem o valor lógico Falsidade, representado por F ou 0. Daqui resulta o Princípio da não-contradição: uma preposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. Assim, o problema do detetive pode ser descrito e resolvido usando as preposições A: o mordomo disse a verdade; B: a cozinheira disse a verdade; C: o jardineiro disse a verdade; D: a faz-tudo disse a verdade.

   Da mesma forma que se pode fazer a operação soma (+) entre dois números e obter outro número, há várias operações que se podem fazer entre preposições e obter outra preposição ou um valor lógico de Verdade ou Falsidade. Ou até operações que se aplicam a uma preposição para obter uma preposição com outro valor lógico. As diferentes operações lógicas são a equivalência (a maçã é amarela se só se é uma fruta), a negação (a maçã não é amarela),  a conjunção (a maçã é amarela e é uma fruta),  a disjunção (a maçã é amarela ou é uma fruta) e  a implicação (se a maçã é amarela então é uma fruta). Da mesma forma que se pode fazer uma tabela de multiplicação que indica o resultado de fazer a operação de multiplicação entre dois números (a tabuada), pode-se fazer uma tabela de verdade que indica o resultado de fazer operações lógicas.

   A Equivalência é representada por <=> e corresponde a “é  o mesmo que” na linguagem corrente. Duas Preposições dizem-se equivalentes quando têm o mesmo valor lógico. Por exemplo, considere-se as preposições p: Portugal é um país, q: 2 é um número e r: a laranja é uma pessoa . p é uma preposição verdadeiraq é uma preposição verdadeira. Logo a preposição p<=>q é verdadeira. Mas r é uma preposição falsa. Assim p<=>r é uma preposição falsa. Isto pode ser representado por esta tabela de verdade: a Equivalência é verdadeira somente quando as duas preposições têm o mesmo valor lógico.

   A Negação é representada por ~ antes da preposição (também nas línguas que não têm esse símbolo pode ser usado ¬ ou mesmo !) e corresponde a “não” na linguagem corrente. A negação de uma  Proposição é uma nova preposição que é verdadeira se a anterior é falsa e falsa se a anterior é verdadeira. Então a negação da verdade é a falsidade e vice-versa. ~V <=> F  e ~F <=> V. Por exemplo, considere-se a preposição p: o Sol é branco. Então ~p (ou ¬p ou!p) é o Sol não é branco. Na verdade, o nosso Sol é mesmo branco, como as imagens tiradas no Espaço mostram. Quando um arco-íris se forma, a luz branca do sol é decomposta em todas as cores, como visto no artigo Pontes de cor. Também por isso, a dupla negação tem sempre o valor lógico inicial ~(~p) <=> p. Nas línguas românicas PEFIR (Português, Espanhol, Francês, Italiano e Romeno), a dupla negação é usada como reforço da negação e não da sua inversão, como abordado no artigo Dupla negação.

   A Conjunção é representada por ∧ e corresponde a “e” na linguagem corrente. A conjunção de duas preposições p e q que só é verdadeira se ambas forem verdadeiras e falsa noutros casos. Por exemplo, considere-se as preposições p: a rosa é uma fruta e q: o carro é azul. A conjunção das duas é p q que se lê “A rosa é uma fruta e o carro é azul”. Neste caso, p q <=> F (é uma preposição falsa) já que p q <=> F  V  <=> F. Como visto no artigo Gansos de borracha, o figo é uma flor como a rosa mas invertida num sicónio.

   A Disjunção é representada por ∨ e corresponde a “ou” na linguagem corrente. A disjunção de duas preposições p e q só é falsa se ambas forem falsas e é verdadeira nos outros casos. Por exemplo, considere-se as preposições p: o figo é um animal e q: o número 2 é par. A disjunção das duas é p  q que se lê “O figo é um animal ou o número 2 é par”. Neste caso, p  q <=> V (é uma preposição verdadeira) já que p  q <=> F ∨ V  <=> V. Existe ainda a disjunção exclusiva que é representada por  (por vezes comoe que é verdadeira se ambas tiverem valores lógicos diferentes e falsa se forem iguais (o que equivale a dizer "ou como banana ou como gelado mas não ambas").

   A Implicação é representada por => e corresponde a “se… então” na linguagem corrente. A implicação de duas preposições só é falsa se a primeira é verdadeira e a segunda é falsa. À primeira chama-se antecedente e à segunda consequente e o antecedente é condição suficiente para o consequente e o consequente é condição necessária para o precedente. Exemplos de implicação são correntes no dia-a-dia e em Matemática e em Filosofia, como a famosa máxima de Descartes “Penso logo existo” e é também uma grande fonte de dificuldades de raciocínio. A famosa lógica da batata é um bom exemplo que diz que “a batata não pensa logo não existe“, o que é uma má aplicação da implicação. Corretamente devia ser “Se  algo não existe então não pensa”.  O antecedente “a batata não pensa” é verdadeiro e o consequente “não existe” é falso. Por consulta da tabela de verdade da implicação vemos que  o resultado é falso porque V => F <=> F.

   Com estes operadores lógicos é possível transformar raciocínios e preposições em declarações lógicas e usar as tabelas de verdade ou as regras operatórias para deduzir os valores lógicos de raciocínios. É possível também validar alguns princípios que tornam raciocínios corretos e mais fáceis de usar. Entre eles, temos o Princípio do Terceiro Excluído, em que algo é verdadeiro ou falso, não podendo  ser outra coisa (pelo que a proposição p ∨ ~p é sempre verdadeira); há igualmente o Princípio de Não Contradição, em que uma preposição não pode ser simultaneamente falsa e verdadeira (a preposição p ∧ ~p é sempre falsa).

   As operações numéricas têm prioridades na ordem pela qual devem ser feitas, o que pode ser abreviado para PEMDAS: Parênteses (simplificar o que há entre eles, começando nos parênteses mais interiores), Expoentes (raízes e potências), Multiplicação e Divisão (começando pela que está mais à esquerda) e finalmente Adição e Subtração (começando pela que está mais à esquerda). As operações lógicas têm também a sua prioridade: primeiro Parênteses (simplificar o que há entre eles, começando nos parênteses mais interiores); depois a Negação; em seguida a Conjunção e Disjunção (começando pela que está mais à esquerda) e finalmente a Implicação e Equivalência (começando pela que está mais à esquerda).

   As operações numéricas têm propriedades na forma como se relacionam entre si: a adição e a multiplicação são Comutativas (2+3 = 3+2 e 2×3 = 3×2), a adição e a multiplicação são Associativas (2+3+4 = (2+3)+4 = 2+(3+4) e 2×3×4 = (2×3)×4 = 2×(3×4)), 0 é o elemento neutro da adição (2+0=2) e  elemento absorvente da multiplicação (2×0=0), 1 é o elemento neutro da multiplicação (2×1=2), e há a propriedade Distributiva da multiplicação em relação à adição (3×(2+5) = 3×2 + 3×5 = 6 + 15 = 21). Assim também são as operações lógicas: a Conjunção e Disjunção são Comutativas;  a Conjunção e Disjunção são Associativas; V é o elemento neutro da conjunção e o o elemento absorvente da Disjunção, F é o elemento neutro da Disjunção e o elemento absorvente da Conjunção e há as Propriedades distributivas da conjunção em relação à disjunção e vice-versa em que p∧(qr) <=> (pq) ∨ (pr) e também p∨(qr) <=> (pq) ∧ (pr).

   Com estas regras lógicas e usando tabelas de verdade e as propriedades entre as operações é possível construir argumentos e deduzir conclusões inabalavelmente lógicas. A juntar ao rol há ainda as Leis de De Morgan: ~(p∧q) <=> ~p∨~q; ~(p∨q) <=> ~p∧~q; (p=>q) <=> ~p∨q e ~(p=>q) <=> (p∧~q). Há também a Implicação contrarrecíproca (p=>q) <=> (~q=>~p)

   O problema inicial do detetive pode então ser transformado em condições lógicas e fazendo a tabela de verdade atribuindo valores lógicos de V ou F alternadamente às declarações das testemunhas obtemos a seguinte condição lógica e a sua tabela de verdade: (A => B) ∧ ~ (B ∧ C) ∧ ~ (~C ∧ ~D)  ∧ (D => ~B). Então as declarações das testemunhas só correspondem  à verdade se A e B tiverem mentido e nada se podendo concluir sobre as declarações de  C e D que foram enviados para caso segundo o princípio legal de “inocente até prova em contrário” tanto no Direito Processual Penal em Portugal como no Brasil.