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118. Quedas graves

O que distingue peso e massa, os contributos de Galileu, Newton e Einstein para a Teoria da Gravidade, a Queda dos Graves e porque decresce com o inverso do quadrado da distância.

   Geralmente confunde-se massa com peso, apesar de serem conceitos diferentes. Esta diferença acontece porque a quantidade de massa (cuja unidade de medida é o quilograma) é a mesma mas o seu peso varia (medido em quilogramas por Newton ou kg/N, em que Newton é a unidade de força SI). A mesma massa sujeita a forças diferentes tem pesos diferentes e por isso nos sentimos «puxados» para baixo quando estamos num elevador a subir porque a força exercida sobre a nossa massa é maior. Por comodidade geralmente considera-se o peso em quilogramas somente mas, em termos físicos, são claramente diferentes. A massa é uma propriedade dos objectos que, de uma forma lata e sem grande precisão, mede a quantidade de matéria que o objecto contém.

   Há vários tipos diferentes de quantidades a que se chama «massa». A massa inercial que é a medida da inércia do objecto (a resistência à mudança do seu estado de repouso para o de movimento rectilíneo uniforme) quando sujeito à força de gravidade. Um objeto com uma pequena massa inercial oferece menos resistência à atuação da força da gravidade do que um com uma massa inercial maior. A massa gravitacional passiva é a medida da intensidade da interação do objecto com o campo gravitacional. No mesmo campo gravitacional, um objecto com uma massa gravitacional passiva é sujeito a uma intensidade de força menor do que a que um objecto com maior massa gravitacional passiva e é geralmente a esta massa gravitacional passiva que se chama «peso». Mas as suas quantidades são diferentes. A massa gravitacional passiva é constante em qualquer campo gravitacional, mas o peso varia. A massa gravitacional activa que é a intensidade da força do campo gravítico relativo ao objecto em questão. Assim o campo gravitacional em Júpiter é maior do que o de Mercúrio porque Júpiter tem uma massa gravitacional activa maior do que a de Mercúrio.

   O Princípio de Galileu, de que se falou no artigo Cabeça na Lua, diz-nos que objetos sujeitos ao mesmo campo gravitacional são sujeitos à mesma aceleração, independentemente da sua massa. A fórmula para a distância percorrida por um corpo em queda sobre a influência exclusiva da gravidade é d = g × t2/2, em que d é a distância percorrida, g é o valor da aceleração devida à gravidade e t é o tempo decorrido. Esta fórmula é independente da massa do corpo em queda. A velocidade é a distância percorrida a dividir pelo tempo decorrido, assim corpos com massas diferentes caem à mesma velocidade porque o campo gravitacional é o mesmo (o da Terra) durante o mesmo período de tempo.

   Apesar de serem 3 conceitos distintos, a massa inercial, a massa gravitacional passiva e a massa gravitacional activa, são difíceis de distinguir entre si e não há ainda registo de alguma experiência objetiva que os distinga uns dos outros. Em termo práticos, são equivalentes. Uma das consequências da equivalência entre massa inercial e massa gravitacional passiva» é o facto, como demonstrado por Galileu, usando esferas de diferentes tamanhos deslizando por planos de inclinação diferentes (e não lançando pesos diferentes do topo da Torre Inclinada de Pisa, como referido no artigo Cabeça na Lua), de que objectos com massas diferentes caem com a mesma velocidade (descontando a resistência do fluido em que está imerso).

   As massas gravitacionais activa e passiva são consideradas equivalentes à luz da Terceira Lei do Movimento de Newton. As 3 Leis do Movimento de Newton são: 1.ª Lei da Inércia – Um corpo não sujeito a nenhuma força externa (atrito, gravidade, empurrão,...) permanecerá em repouso ou em movimento rectilíneo uniforme; 2.ª – a aceleração de um corpo é igual à força exercida dividida pela sua massa (a = F/m); 3.ª – Lei da acção-reacção – quando um corpo exerce uma força sobre outro, este exerce uma força com a mesma intensidade e sentido oposto o primeiro. A equivalência entre a massa inercial e as massas gravitacionais (o chamado «princípio de equivalência fraco» ou «princípio de Galileu») é a responsável pela igualdade da queda de corpos com massas diferentes no mesmo campo gravítico.

   Pela Lei da Gravitação de Newton, a força da gravidade exercida entre dois corpos A e B é proporcional às suas massas e é inversamente proporcional ao quadrado da distância que os separa. F = – G × mA × mB / r2, em que G é a Constante de Gravitação Universal. (G =6,6720 × 10-11 N × m2/kg2) No caso da queda de um corpo sobre a Terra, F = -G × mA × mTerra / r2. Pela 2.ª Lei, F = mA × g (em que F é a força, m a massa e g a aceleração devida à gravidade). Combinando as duas, a massa inercial (M) e as massas gravitacionais (m) são proporcionais, logo são equivalentes. No campo gravítico terrestre, M × g / m é uma constante. Através das suas experiências, Galileu provou que corpos de massas diferentes caem à mesma velocidade e logo as duas são equivalentes. A aceleração de um corpo devido a uma campo gravítico é g = m / (4 × cm × d× π), em que m é a massa do corpo, cm = 299792458 kg/m3, d a distância do corpo ao centro de massa e π = 3,1415926535897932384626433…  

   Por um lado, pela segunda lei de Newton, a aceleração de um corpo é directamente proporcional à força que sobre ele actua e inversamente proporcional à sua massa, a massa inercial (M), em que a = F / M. Por outro lado, pela lei da gravitação de Newton, a força gravitacional exercida por um corpo (a Terra, por exemplo, mas também poderia ser a Lua, ou qualquer outro corpo) sobre outro (uma pena ou um martelo, por exemplo) é diretamente proporcional às suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que os separa. As massas em questão são massas gravitacionais. Seja massa da Terra (mTerra), a massa do Objeto (mObjeto) e a massa inercial do objeto (mInercial), sendo G a constante gravitacional universal e r o raio da Terra. Então temos F = -G × mTerra × mObjeto / r2. Combinando ambas as equações, a aceleração de um corpo em queda livre na superfície da Terra (g) é dada por g = – (G × mTerra × mObjeto) / (mInercial × r2).

   Como as massas inercial e gravitacional do corpo são idênticas, a equação da aceleração gravitacional fica então g = – G × mTerra / r2. Ou seja, a aceleração é constante, no sentido em que não depende da massa do corpo. Depende apenas da massa e do raio da Terra. Obtém-se, para a aceleração gravitacional à superfície do nosso planeta, o valor aproximado de -9,8 m / s2. Para a Lua é de cerca de 1/6 desse valor. É um movimento uniformemente acelerado, o qual é dado pela equação d = g × t2 / 2. Resolvendo em ordem a t, obtém-se o tempo que um corpo leva para percorrer uma determinada distância d que é t = √ (2 × d / g). Assim o tempo despendido depende apenas da distância a percorrer e do valor da aceleração gravitacional, não dependendo das características (designadamente da massa) do corpo em queda livre. Isto é, tanto faz ser um martelo como uma pena, que o tempo da queda será o mesmo. Mas há ainda a questão da força gravitacional decrescer com o quadrado da distância.

   Até que Einstein formulou um princípio de equivalência bastante mais restritivo: as leis da física para um sistema em movimento retilíneo uniforme (um referencial de inércia) deverão ser idênticas às de um sistema em queda livre num campo gravitacional (um referencial local acelerado). Por exemplo, se o cabo de um elevador se partir e o elevador começar a cair em direção ao solo, os infelizes ocupantes ficarão a flutuar no interior da cabina (ou seja, a aceleração da cabina e a dos seus ocupantes serão idênticas), não sendo capazes de distinguir o movimento uniformemente acelerado de que estão animados do movimento rectilíneo uniforme que teriam se se deslocassem pelo espaço interestelar a bordo de um foguetão com os motores desligados (até ao momento em que o elevador embater no solo, claro). Com base neste princípio, Einstein desenvolveu  a relatividade generalizada, a qual interpreta a gravidade em termos de deformações na geometria do espaço e do tempo. E é precisamente do caráter geométrico desta teoria que decorre a lei do inverso do quadrado que Newton não soube explicar.

   O decréscimo da força gravitacional com o quadrado da distância (propriedade comum a outras forças como a atração magnética) resulta da natureza geométrica curva que Einstien introduziu, pela propagação dessas forças em forma de superfícies esféricas concêntricas pelo espaço tridimensional, da mesma forma que ondas se propagam na forma de círculos (esferas a 2 dimensões) na superfície de um lago quando um objeto nele cai. A equação da área de uma superfície esférica é dada pela equação ÁreaEsfera = 4 × π × r², que que r é o raio da esfera. à medida que o raio aumenta (a força se propaga), a mesma intensidade da força é repartida por uma área cada vez maior, que aumenta proporcionalmente ao quadrado da distância ao centro de onde se originou a força. Então a intensidade da força em cada ponto da superfície esférica é dividida pelo quadrado do raio.