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124. Razões metálicas

A famosa razão de ouro é apenas uma de imensas outras razões metálicas que gozam das mesmas propriedades matemáticas da razão de ouro, desde a sua representação como um fração contínua a serem o limite de sucessões semelhantes à de Ficbonacci. Eis algumas das características verdadeiras e interessantes da razão de ouro e das suas irmãs metálicas.

   A Matemática é uma área do conhecimento humano de grande importância. Muitas são as pessoas que não gostam tal como muitas são as pessoas que gostam. Há também quem goste mas pelas razões erradas. Muitas pessoas gostam do aspeto visual dos fratais (de que se falou no artigo Fratal como o destino) desconhecendo as suas profundas e belas fundações matemáticas. E também há uma excessiva valorização de alguns números em detrimento de outros, muitas vezes pelas razões erradas. Um desses números é a chamada razão de ouro, representada pela letra grega ϕ (phi ou fi). ϕ ≈ 1,61803398875… Φ é a maiúscula da letra e ϕ a minúscula.

   Tal como o número pi  (π)  (de que se falou no artigo Agulhas circulares), phi (Φ/ϕ) é um número irracional, i.e., não pode ser escrito como a divisão de dois números inteiros e é uma dízima infinita não periódica (ver o artigo Naturalmente real para mais sobre os diferentes conjuntos de números, como os irracionais). Há uma vertente quase mística e destituída de fundamentos concretos que “identifica” a presença de ϕ em vários acontecimentos. Há quem o “identifique” na Grande Pirâmide de Quéops, em Gizé em que a aresta e a base estão aproximadamente numa proporção de ouro (186,4/115,2 ≈ 1,618). Há também quem o “identifique” noutra Maravilha do Mundo, a Estátua de Zeus em Olímpia, esculpida por Fídias (Phidias). O símbolo ϕ foi primeiramente proposto, no início do século 20, pelo engenheiro elétrico e inventor James Mark McGinnis Barr (1871-1950). O escritor inglês Theodore Andrea Cook avançou com a ideia de que Barr teria usado a primeira letra do nome do escultor grego para o nome de ϕ mas o próprio Barr desmentiu essa conclusão, duvidando que Fídias tivesse usado essa constante matemática. Também na “presença” de ϕ na arquitetura grega ou nos desenhos de Leonardo da Vinci. Mas sempre por aproximações e generalizações (como referido no artigo Homem de Vitrúvio, o neoplatónico da Vinci ficaria horrorizado com essa ideia). Fala-se também na beleza intrínseca do chamado rectângulo de ouro mas, como abordado no artigo Razão de prata, em que se se fala de outra razão a que se chama razão de prata, isso poderá não corresponder à realidade. Qual destes triângulos é o mais bonito? Só o retângulo A  é de “ouro”, o mais deselegante dos 3. O retângulo B tem o tamanho A4 e o retângulo C é um quadrado.

   Essas presenças aparentes de ϕ escondem algumas das características verdadeiramente interessantes deste número. Duas quantidades estão numa proporção de ouro quando, se uma mede 1, a outra mede ϕ (≈1,61803...), o que acontece sempre que «a divisão (razão) da soma das duas quantidades pela maior das duas é igual à divisão (razão) da maior quantidade pela menor». Dito de outra forma, duas quantidades «a» e «b» (em que «a» é maior do que «b») estão numa proporção de ouro se (a+b)/a = a/b (ou então b/(a-b) = a/b). Quando a quantidade mais pequena «b» mede 1, a quantidade maior «a» mede ϕ. Dessa forma, (ϕ+1)/ϕ = ϕ/1. Então ϕ + 1 = ϕ2. Chega-se assim à equação ϕ2 – ϕ – 1 = 0. Esta equação do segundo grau tem 2 soluções possíveis (se se substituir a incógnita da equação por estes valores, o resultado, depois de efetuadas as operações, será 0), uma positiva e outra negativa. Uma das soluções (a positiva) é a razão de ouro. 

   Um rectângulo tem a proporção de ouro quando os seus lados estão numa proporção de ouro, ou seja a soma dos dois lados está para o lado maior assim como o lado maior está para o lado menor. Quando um lado mede 1 o outro mede ϕ ≈ 1,618033; quando um mede 2 o outro mede ≈ 3,236066;… quando um mede «b» o outra mede bxϕ ≈ bx1,61803. Um rectângulo com a proporção de ouro pode ser dividido num quadrado e num rectângulo que também tem a proporção de ouro. Esse novo rectângulo também pode ser dividido num quadrado e num rectângulo. Além disso, se se pegar num rectângulo de ouro dividido noutro rectângulo de ouro e num quadrado, pode-se unir os vértices opostos do quadrado por uma curva. Se em seguida se colocar, ao lado do rectângulo original, um quadrado com o mesmo lado que o rectângulo, os seus vértices podem ser unidos por uma curva (um quarto da circunferência com o raio igual ao lado do quadrado) unida à curva anterior. Se ao novo rectângulo (fruto da união do rectângulo original com o quadrado) se se juntar um novo quadrado, com os vértices opostos unidos por uma curva unida à curva já existente e se se prolongar este procedimento indefinidamente, obtém-se o que se chama uma espiral logarítmica, que se pode representar pelo gráfico da função r =  eᵇᶱ.

   É claro que ϕ tem infinitos valores após a vírgula, pelo que não é humanamente possível determinar esse valor com precisão. Apesar disso, é possível encontrar aproximações inteiras muito próximas para os lados de um rectângulo de ouro. Nos primeiros 10 números positivos (para o lado mais pequeno), a aproximação mais próxima de ϕ é a = 13 e b = 8 (um rectângulo de lados 13 e 8), para os quais o valor de ϕ seria 1,625. No entanto há melhores aproximações. Por exemplo, um rectângulo de lados a = 1597 e b = 987 dá uma aproximação de ϕ de 1,618034448 (para o lado menor inferior a 1 000, esta é melhor aproximação do valor de ϕ). A tabela seguinte indica as aproximações melhores com os primeiros 10 números, primeiros 50, primeiros 100, primeiros 500 e primeiros 1 000 (para quem quiser fazer rectângulos «de ouro» aproximados). Recorde-se que ϕ ≈ 1,6180339887…

    E daqui surge uma das características surpreendentes de ϕ. É um número irracional mas é também o mais irracional de todos os números irracionais. Apesar de ser possível fazer aproximações racionais de ϕ, este é aquele que mais dificilmente é assim aproximado. Todos os números reais podem ser descritos usando frações contínuas, em particular frações contínuas simples. Para o fazer, o procedimento é simples (usando uma calculadora). Considere-se o número racional (porque é uma dízima finita) 5,4321. A fração contínua começa pela parte inteira do número. É 5 + 0,4321. Usando a calculadora, inverte-se 0,4321 e obtém-se 2,314279… Então 5,4321 = 5 + 1 / 2,314279… Procedendo-se da mesma forma obtém-se a fração contínua simples de 5,4321. Esta é finita (termina em 127) porque o número é racional. Números irracionais também podem ser representados por frações contínuas simples mas infinitas. Por exemplo, o número π.    Cada nova fração que se calcula indica uma aproximação racional do número. Por exemplo, π = 3; π = 3 + 1/7 = 22/7; π = 3 + 1/(7+1/15) = 3 + 1/(105/15) = 3 + 15 / 105 = 330/105; interrompendo a fração contínua em pontos diferentes obtêm-se diferentes aproximações.Quando se chega ao 292, a aproximação é bastante razoável porque, como 292 é um grande número, o seu inverso é muito pequeno. Sempre que surgem números grandes (em comparação com os anteriores) a aproximação racional anterior é a melhor. Quanto mais pequenos são os sucessivos números piores são as aproximações racionais (cada uma será consideravelmente maior do que a anterior). O número irracional que difere mais de possíveis aproximações racionais será um constituído por apenas 1s. E o número que é representado por essa fração contínua é ϕ que é o número irracional mais irracional de todos!

   Não só os rectângulos possuem a proporção de ouro. Também os triângulos a podem ter. Um triângulo diz-se um triângulo de ouro quando é um triângulo isósceles (quando tem 2 lados iguais e um diferente, do Antigo Grego "isos"«igual» e skelos «perna») no qual a divisão de um dos lados iguais por metade da base é aproximadamente ϕ. Além dos triângulos, uma outra figura muito importante para os pitagóricos era o pentagrama (a estrela de 5 pontas iguais). Cada uma das pontas é um triângulo de ouro e o pentagrama central pode ser dividido, ligando os vértices do mesmo, num novo pentagrama e assim continuamente;

   Na Sequência de Fibonacci, que tem importantes e curiosas manifestações nas construções da Natureza (como se viu no artigo Coelhos matemáticos), a divisão de cada termo pelo termo anterior aproxima-se do número ϕ. Cada termo da sequência é igual à soma dos dois termos que o antecedem. A sequência é 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …1/1 = 1 ; 2/1 = 2 ; 3/2 = 1,5 ; 8/5 = 1,6 ; 13/8 = 1,625 ; 21/13 = 1,6184 ; …Quanto maiores são os números da sequência, mais a sua divisão é próxima de ϕ. Mas esta aproximação é válida para qualquer sequência numérica em que cada número é igual à soma dos dois números anteriores, como nas Sequências de Lucas, a razão entre termos consecutivos tende para ϕ. Por exemplo, a sequência que começa por 5 e 9 e em que cada termo é igual à soma dos dois anteriores. A sucessão é 5  9  14  23  37  70  107  177… A razão entre dois termos consecutivos é 9/5 = 1,8; 14/9 = 1,555…; 23/14 = 1,3428…; 37/23 = 1,6086…; 70/37 = 1,8918…; 107/70 = 1,5285; 177/107 = 1,6542;… que se aproxima de ϕ.

  Outra particularidade desta razão de ouro é que ela se insere dentro de uma categorias de razões numéricas chamadas razões metálicas. Cada razão metálica tem uma espiral logarítmica que lhe corresponde e uma fração contínua. A maioria das propriedades atribuídas à razão de ouro também se verificam com as outras razões metálicas. Da mesma forma que a razão de ouro pode ser encontrada pela resolução da equação x² – x – 1 = 0, a razão metálica n pode ser encontrada pela resolução da equação x² – n.x – 1 = 0. E a fração contínua de cada razão metálica n é dada por

   Da mesma forma que a razão de ouro surge na sequência de Fibonacci definida como a soma dos dois valores anteriores, cada razão metálica surge associada a uma sequência semelhante à de Fibonacci mas em que o valor n já não é igual a 1 (razão de ouro) mas o valor natural correspondente a cada razão metálica. A sequência de Fibonacci é definida por Fᵤ = 1×Fᵤ₋₁ + Fᵤ₋₂, a razão metálica n é encontrada pelo limite da razão de dois termos consecutivos da sequência numérica definida por Sᵤ = n.Sᵤ₋₁ + Sᵤ₋₂.