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104. Gado de Arquimedes

O problema matemático que demorou 22 séculos a ser solucionado, usando ferramentas matemáticas modernas e supercomputadores, colocado por Arquiemedes aos seus alunos.

   Uma das obras poéticas mais antigas que se conhece é a descrição de Homero da Guerra de Troia (que foi abordada no artigoDecisões em Troia), ocorrida há cerca de 3 000 anos. Após 10 anos de cerco à cidade, as tropas gregas foram vitoriosas e a cidade de Troia foi destruída. Um dos heróis gregos era Odisseu (em grego) ou Ulisses (em latim). Após a vitória, Odisseu partiu com os seus 12 navios de volta a casa, na ilha grega de Ítaca. No caminho, ventos fortes afastaram os navios da sua rota e eles chegam à ilha do Ciclope Polifemo, filho do Deus do mar Posídon (ciclope vem das palavras em grego clássico κύκλος kúklos, 'círculo' e ωψς ṓps, 'olho') na atual ilha Djerba, na costa da Líbia. O ciclope capturou-os e, para escaparem,  os gregos cegaram-no. Como castigo por terem cegado o seu filho, Posídon condenou-os a a vaguearem pelo Mediterrâneo. Uma das ilhas a que chegam é a ilha de Trinácia («três cantos» em Grego), a atual ilha Sicília, onde o deus grego Hélio (a personificação do Sol) tem o seu gado. Apesar de serem avisados, os gregos mataram e comeram o gado de Hélio.

   Arquimedes usou depois este episódio da Odisseia para criar um problema matemático clássico que ficou por resolver até ao século 19 e 20. Ele (d)escreveu, numa carta dirigida aos estudantes da cidade egípcia de Alexandria (fundada por Alexandre Magno e que continha a famosa Biblioteca de Alexandria, de que se falou no artigo Grande Saber) um problema relacionado com o cálculo do número de cabeças de gado do Deus Sol grego Hélio. Na altura, a ilha tinha colónias gregas e os gregos acreditavam que o gado do deus Hélio pastava perto de Taormina (nome derivado da designação original dos colonos gregos «Tauromenion»), 85 quilómetros a norte de Siracusa. A origem e idade do problema não são conhecidas com exatidão, mas pensa-se que, de facto, terá a ver com Arquimedes. (Ver também a solução do problema da coroa do rei de Siracusa no artigo Coroa de Vitrúvio).

   A dificuldade do problema proposto é tal que a primeira solução (ainda que incompleta) só surgiu em 1880, pelas mãos do matemático alemão August Amthor. Amthor conseguiu mostrar que o número total de animais da solução total tem 206 mil e 545 dígitos e conseguiu calcular alguns dos primeiros dígitos mas o cálculo completo não podia ser feito com os meios da altura. Apenas com o advento dos computadores foi possível, em 1965, encontrar uma solução. No entanto, os autores apenas descreveram os passos para esse cálculo mas não a solução em si mesma. O menor número de animais no gado de Hélio foi publicado pelo matemático americano Harry Lewis Nelson em 1981, usando o supercomputador CRAY-1. Mas uma solução geral para o problema foi encontrada em 2001 usando meios de cálculo mais modestos do que um supercomputador.

   Em termos simplificados, o problema é: O Deus Sol Hélio tinha bois e vacas a pastar. O gado estava dividido em quatro partes: a primeira era Branca, a segunda Preta, a terceira era Malhada e a quarta Castanha e cada parte tinha bois e vacas. Entre os bois, o número de bois brancos era um meio mais um terço dos bois pretos mais o de castanhos; o número de bois pretos era um quarto mais um quinto dos bois malhados mais o de castanhos; o número de bois malhados era um sexto mais um sétimo do de bois brancos mais o de castanhos. Entre as vacas, o número de vacas Brancas era um terço mais um quarto do total de animais pretos; o número de vacas Pretas era um quarto mais um quinto do total de animais malhados; o número de vacas Malhadas um quinto mais um sexto do total de animais castanhos; o número de vacas Castanhas era um sexto mais um sétimo do total de animais brancos. Quantos animais existiam ao todo de cada tipo?

   O problema pode ser descrito por um sistema de equações da seguinte forma: seja «B» o número de bois brancos, «P» o de bois pretos, «M» o de bois malhados, «C» o de bois castanhos, «b» o de vacas brancas, «p» o de vacas pretas, «m» o de vacas malhadas e «c» o de vacas castanhas. Teremos então as seguintes 7 equações.  Como facilmente se constata, há 7 equações para 8 incógnitas e temos um sistema de equações diofantinas para resolver (equações cujas soluções sejam inteiras, uma vez que o número de animais de qualquer tipo tem de ser inteiro). Usando um programa desse tipo determina-se a mais pequena das soluções: B =10 366 482; P = 7 460 514; M = 7 358 060; C = 4 149 387; b = 7 206 360; p = 4 893 246; m= 3 515 820; c = 5 439 213. No total, o gado de Hélio teria  40 022 600 animais.

   Mas Arquimedes refere ainda, como continuação do problema, que: Quando os bois brancos se juntam aos negros, podem formar um quadrado com tantos animais de comprimento como de largura. E quando os bois malhados se juntam aos castanhos, podem formar um triângulo, em que a primeira fila tem 1 animal, a segunda 2 animais, e assim sucessivamente, cada fila com um animal mais do que a anterior. Com mais estas duas equações, o número de animais cresce imenso. Em termos de equações temos então que b + p = número quadrado (ou seja, o número de bois pretos mais o números de bois brancos tem de ser igual a um número ao quadrado).    Além disso, m + c = número triangular (um número triangular é igual à soma 1 + 2 + 3 + ...) A soma de números consecutivos é dada pela fórmula n × (n+1) / 2 (descoberta pelo matemático  Gauss, de cuja curva se falou no artigo Curva previdente, quando ainda era pequeno). Então, m + c = n × (n+1) / 2, em que n é um número inteiro positivo qualquer. As soluções do problema tornam-se então números com 206 544 ou 206 545 dígitos, que foi obtida em 1965. Os cálculos foram feitos em 7 horas e 49 minutes por computador.

   O matemático americano Harry Lewis Nelson publicou depois, em 1981, as 47 páginas de cálculos feitas pelo supercomputador CRAY-1, com a solução com 206 545 dígitos. Além da solução mais pequena, mais cinco soluções foram encontradas (a maior das quais tinha um milhão de dígitos). A solução geral, encontrada pelo matemático canadiano Ilan Vardi em 2001, foi 7,760271… × 10²⁰⁶⁵⁴⁴. O supracitado matemático August Amthor já tinha antes determinado que a solução tinha 206 545 dígitos e que começava por 776. Mais tarde, em 1889 e 1893, calcularam-se os primeiros 31 dígitos e e os 12 últimos:  7760271406486818269530232833213…719455081800. Mas o valor mais pequeno só foi publicado em 1981, por Harry Nelson, que usou um supercomputador para o cálculo do número com 206 545 dígitos que ocupava 47 páginas impressas.

   Nunca um problema matemático tinha demorado 22 séculos a resolver. Mas a questão é, sabendo que a solução envolve Álgebra, sistema de equações diofantinas, supercomputadores e 47 páginas impressas, como terá Arquimedes solucionado a questão se nenhum estes métodos existia no seu tempo?